मैं हूँ गोल-गोल, ऊपर-नीचे

जमुना के पास कागज का एक वृत्ताकार टुकड़ा है। वह इसके केंद्र का पता लगाने का प्रयास कर रही है। अमीना उसे एक सुझाव देती है। वह उन निर्देशों का पालन करती है और उसके परिणाम से रोमांचित होती है। क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि अमीना ने उसे क्या सुझाव दिया होगा?

एक वर्ग में घूर्णन सममिति कौन कौन-सी हैं? इसमें परावर्तन सममिति की कितनी रेखाएँ हैं? एक सम पंचभुज और एक समषट्भुज में घूर्णन सममिति और परावर्तन सममिति की कितनी रेखाएँ होती हैं?

5 इकाई त्रिज्या वाले वृत्त में सबसे लंबी जीवा की लंबाई कितनी है? क्या इस वृत्त में कोई सबसे छोटी जीवा है?

किसी दिए गए बिंदु से समदूरस्थ बिंदुओं का बिंदुपथ वृत्त कहलाता है। दिए गए किन्हीं दो बिंदुओं से समदूरस्थ बिंदुओं के बिंदुपथ के विषय में हम क्या कह सकते हैं? (संकेत— हम जानते हैं कि किन्हीं दो दिए गए बिंदुओं A और B से समदूरस्थ कोई भी बिंदु, AB के लंब समद्विभाजक पर स्थित होता है। क्या इस कारण से रेखाखंड का लंब समद्विभाजक, समदूरस्थ बिंदुओं का बिंदुपथ हो जाएगा। इसके लिए हमें यह सिद्ध करना होगा कि लंब समद्विभाजक पर स्थित सभी बिंदु, A व B से समदूरस्थ हैं।)

किसी समतल पर स्थित दो बिंदुओं से कितने वृत्त होकर जाते हैं?

क्या A और B से होकर जाते हुए सभी संभावित त्रिज्याओं वाले वृत्त विद्यमान होते हैं? A और B से होकर जाते हुए सबसे छोटे वृत्त की त्रिज्या क्या है? A और B से होकर जाते हुए सबसे बड़े वृत्त की त्रिज्या क्या है?

जैसे-जैसे आप रेखाखंड AB से लंब समद्विभाजक के अनुदिश दूर होते जाते हैं तो A और B से होकर जाते हुए वृत्तों की त्रिज्याएँ बढ़ती हैं या घटती हैं?

जैसे-जैसे आप लंब समद्विभाजक के अनुदिश जाते हैं तो क्या उस बिंदु से निर्मित A और B से होकर जाता हुआ वृत्त अधिक वक्रीय या कम वक्रीय प्रतीत होता है?

एक समतल पर आपको दो बिंदु A और B दिए गए हैं। आप उसी समतल पर ऐसे कितने वर्ग बना सकते हैं जिनकी सीमारेखा पर A और B स्थित हों? उसी समतल पर आप ऐसे कितने वर्ग बना सकते हैं जिनके कोने के बिंदु A और B हों?

दो बिंदुओं $A$ और $B$ से होकर जाते हुए वृत्त की न्यूनतम संभावित त्रिज्या क्या है?

$A, B$ और $C$ तीन सरेखीय बिंदु हैं। क्या आप ऐसे एक बिंदु $P$ का पता लगा सकते हैं जिसके लिए $PA = PB = PC$ हो? आप $AB$ और $BC$ के लंब समद्विभाजकों के विषय में क्या कह सकते हैं? रचना कीजिए और जाँचिए। क्या आप प्रदर्शित कर सकते हैं कि तीन सरेखीय बिंदुओं $A, B$ और $C$ के लिए $AB$ और $BC$ के लंब समद्विभाजक समांतर हैं? क्या सरेखीय बिंदुओं से होकर जाता हुआ वृत्त संभव है? क्या आप एक ऐसी रेखा खींच सकते हैं, जो दिए गए वृत्त को तीन भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है?

दिए गए $\Delta ABC$ के परिवृत्त की रचना की जाती है। क्या $\Delta ABC$ के सर्वांगसम अन्य त्रिभुज हो सकते हैं, जिनका परिवृत्त $\Delta ABC$ का परिवृत्त हो?

प्रदर्शित कीजिए कि किसी जीवा द्वारा वृत्त के केंद्र के साथ बनने वाला त्रिभुज, एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है।

प्रदर्शित कीजिए कि यदि ऐसे दो समद्विबाहु त्रिभुजों (प्रश्न 1 के त्रिभुज) के आधार की लंबाई समान हो तो वे सर्वांगसम त्रिभुज होते हैं।

एक वृत्त के अंतर्गत समद्विबाहु त्रिभुज ABC अंतर्निहित है, जिसमें AB = AC है। प्रदर्शित कीजिए कि A से BC पर डाला गया लंब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।

किसी वृत्त की 6 सेंटीमीटर और 8 सेंटीमीटर लंबाई की दो समांतर जीवाएँ वृत्त के केंद्र के विपरीत स्थित हैं। यदि वृत्त की त्रिज्या 5 सेंटीमीटर हो तो जीवाओं के मध्यबिंदुओं के मध्य दूरी ज्ञात कीजिए।

बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके प्रदर्शित कीजिए कि क्यों प्रमेय 6 अवश्य ही सत्य होनी चाहिए।

बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हुए प्रश्न 2 को हल कीजिए।

वृत्त की जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए, जिसकी त्रिज्या 7 सेंटीमीटर है और केंद्र से लंबवत दूरी 6 सेंटीमीटर है।

स्पष्ट कीजिए कि दिया गया कथन सत्य क्यों है— यदि केंद्र से जीवा की लंबवत दूरी $d$ है और त्रिज्या $r$ है तो जीवा की लंबाई $2\sqrt{r^2 - d^2}$ होगी।