Question 16 of 46intermediate🔧 ApplyNumerical3 marks

किसी वृत्त की 6 सेंटीमीटर और 8 सेंटीमीटर लंबाई की दो समांतर जीवाएँ वृत्त के केंद्र के विपरीत स्थित हैं। यदि वृत्त की त्रिज्या 5 सेंटीमीटर हो तो जीवाओं के मध्यबिंदुओं के मध्य दूरी ज्ञात कीजिए।

Correct Answer

जीवाओं के मध्यबिंदुओं के मध्य दूरी 7 सेंटीमीटर है।

Exercise: प्रश्नावली 5.3 | Q: 3 | (Page 101)
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Explanation

वृत्त के केंद्र से जीवा के मध्यबिंदु को मिलाने वाली रेखा जीवा पर लंब होती है। जीवा की लंबाई 2r2−d22\sqrt{r^2 - d^2} होती है, जहाँ rr त्रिज्या और dd केंद्र से जीवा की लंबवत दूरी है। इस सूत्र का उपयोग करके हम केंद्र से प्रत्येक जीवा की दूरी ज्ञात कर सकते हैं। चूँकि जीवाएँ केंद्र के विपरीत स्थित हैं, इसलिए मध्यबिंदुओं के मध्य की दूरी दोनों दूरियों का योग होगी।

Solution Steps

  1. चरण 1: मान लीजिए वृत्त का केंद्र O है और 6 सेंटीमीटर तथा 8 सेंटीमीटर लंबी जीवाएँ AB और CD हैं। जीवाओं के मध्यबिंदु M और N हैं। वृत्त की त्रिज्या r=5r = 5 सेंटीमीटर है।

  2. चरण 2: केंद्र से जीवा के मध्यबिंदु को मिलाने वाली रेखा जीवा पर लंब होती है। जीवा की लंबाई का सूत्र l=2r2−d2l = 2\sqrt{r^2 - d^2} है, जहाँ dd केंद्र से दूरी है। इसे d=r2−(l/2)2d = \sqrt{r^2 - (l/2)^2} के रूप में लिखा जा सकता है।

  3. चरण 3: 6 सेंटीमीटर लंबी जीवा AB के लिए, OM=52−(6/2)2=25−9=16=4OM = \sqrt{5^2 - (6/2)^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 सेंटीमीटर।

  4. चरण 4: 8 सेंटीमीटर लंबी जीवा CD के लिए, ON=52−(8/2)2=25−16=9=3ON = \sqrt{5^2 - (8/2)^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 सेंटीमीटर।

  5. चरण 5: चूँकि दोनों जीवाएँ केंद्र के विपरीत स्थित हैं, इसलिए मध्यबिंदुओं के मध्य दूरी MN=OM+ON=4+3=7MN = OM + ON = 4 + 3 = 7 सेंटीमीटर होगी।

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