किसी दिए गए बिंदु से समदूरस्थ बिंदुओं का बिंदुपथ वृत्त कहलाता है। दिए गए किन्हीं दो बिंदुओं से समदूरस्थ बिंदुओं के बिंदुपथ के विषय में हम क्या कह सकते हैं? (संकेत— हम जानते हैं कि किन्हीं दो दिए गए बिंदुओं A और B से समदूरस्थ कोई भी बिंदु, AB के लंब समद्विभाजक पर स्थित होता है। क्या इस कारण से रेखाखंड का लंब समद्विभाजक, समदूरस्थ बिंदुओं का बिंदुपथ हो जाएगा। इसके लिए हमें यह सिद्ध करना होगा कि लंब समद्विभाजक पर स्थित सभी बिंदु, A व B से समदूरस्थ हैं।)
दिए गए किन्हीं दो बिंदुओं A और B से समदूरस्थ बिंदुओं का बिंदुपथ रेखाखंड AB का लंब समद्विभाजक होता है।
हम जानते हैं कि किन्हीं दो दिए गए बिंदुओं A और B से समदूरस्थ कोई भी बिंदु, AB के लंब समद्विभाजक पर स्थित होता है। इसके विपरीत, लंब समद्विभाजक पर स्थित प्रत्येक बिंदु, A और B से समदूरस्थ होता है।
अतः, रेखाखंड AB का लंब समद्विभाजक, A और B से समदूरस्थ बिंदुओं का बिंदुपथ है, क्योंकि लंब समद्विभाजक पर स्थित सभी बिंदु A व B से समदूरस्थ हैं और प्रत्येक बिंदु जो A और B से समदूरस्थ है, वह AB के लंब समद्विभाजक पर ही स्थित होता है।
Explanation
प्रश्न में दिए गए संकेत के अनुसार, यदि हम यह सिद्ध कर देते हैं कि लंब समद्विभाजक पर स्थित सभी बिंदु A और B से समदूरस्थ हैं और A व B से समदूरस्थ सभी बिंदु लंब समद्विभाजक पर स्थित हैं, तो वह रेखा उन बिंदुओं का बिंदुपथ कहलाएगी। पाठ्यसामग्री के अनुसार, यह दोनों शर्तें सत्य हैं, जिससे यह सिद्ध होता है कि दो बिंदुओं से समदूरस्थ बिंदुओं का बिंदुपथ उनके जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक होता है।