Question 14 of 46intermediate🔧 ApplyLong Answer3 marks

प्रदर्शित कीजिए कि यदि ऐसे दो समद्विबाहु त्रिभुजों (प्रश्न 1 के त्रिभुज) के आधार की लंबाई समान हो तो वे सर्वांगसम त्रिभुज होते हैं।

Correct Answer

मान लीजिए एक वृत्त का केंद्र C है और AB तथा DE वृत्त की दो जीवाएँ हैं। प्रश्न 1 के अनुसार, जीवा द्वारा केंद्र के साथ बनने वाले त्रिभुज △ACB\triangle ACB और △DCE\triangle DCE समद्विबाहु त्रिभुज हैं। हमें यह दिया गया है कि इन त्रिभुजों के आधार की लंबाई समान है, अर्थात AB=EDAB = ED है।

चूँकि एक ही वृत्त की सभी त्रिज्याएँ समान होती हैं, इसलिए AC=BC=DC=ECAC = BC = DC = EC (वृत्त की त्रिज्या) है। अतः △ACB\triangle ACB और △DCE\triangle DCE में AC=DCAC = DC और BC=ECBC = EC है।

अब △ACB\triangle ACB और △DCE\triangle DCE में, हमारे पास AC=DCAC = DC, BC=ECBC = EC और AB=EDAB = ED है। अतः SSS सर्वांगसमता प्रतिबंध द्वारा △ACB≅△DCE\triangle ACB \cong \triangle DCE होगा। इस प्रकार, यदि ऐसे दो समद्विबाहु त्रिभुजों के आधार की लंबाई समान हो तो वे सर्वांगसम त्रिभुज होते हैं।

Exercise: प्रश्नावली 5.2 | Q: 2 | (Page 100)
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Explanation

यह प्रश्न प्रश्न 1 पर आधारित है, जहाँ जीवा और केंद्र से बना त्रिभुज समद्विबाहु होता है क्योंकि उसकी दो भुजाएँ वृत्त की त्रिज्या होती हैं। यदि दो ऐसे त्रिभुजों के आधार (जीवाएँ) बराबर हों, तो तीनों भुजाएँ बराबर हो जाती हैं (तीनों त्रिज्याएँ और आधार), जिससे SSS नियम से वे सर्वांगसम हो जाते हैं।

Solution Steps

  1. चरण 1: वृत्त का केंद्र C मानकर दो जीवाएँ AB और DE लीजिए, जहाँ AB = ED दिया है।

  2. चरण 2: चूँकि AC, BC, DC और EC सभी वृत्त की त्रिज्या हैं, अतः AC = DC और BC = EC है।

  3. चरण 3: त्रिभुजों △ACB\triangle ACB और △DCE\triangle DCE में तीनों संगत भुजाएँ समान हैं (AC=DC, BC=EC, AB=ED)।

  4. चरण 4: अतः SSS सर्वांगसमता प्रतिबंध द्वारा △ACB≅△DCE\triangle ACB \cong \triangle DCE सिद्ध होता है।

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