अगले पद का पूर्वानुमान — अनुक्रमों और श्रेढ़ियों का अन्वेषण

1, 2, 3, 4, 5, 6, ... (प्राकृत संख्याएँ) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... (विषम संख्याएँ) 1, 3, 6, 10, 15, 21, ... (त्रिभुजाकार संख्याएँ) 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... (वर्ग संख्याएँ)

क्या आप ऊपर दिए गए अनुक्रमों में प्रत्येक अनुक्रम में प्रतिरूप की व्याख्या कर सकते हैं? क्या आप इन अनुक्रमों में अग्रिम कुछ संख्याओं का पूर्वानुमान लगा सकते हैं?

अनुक्रम 1, 4, 7, 10, 13, ... पर विचार कीजिए। क्या आप आगामी चार पदों का पूर्वानुमान लगा सकते हैं? क्या आप इस अनुक्रम में दिए गए पद तक आने वाले सभी पदों का योग करने पर प्राप्त अनुक्रम के पहले 10 पद बता सकते हैं? (संकेत — प्रथम पद 1 है। दूसरा पद $1 + 4 = 5$ है, तीसरा पद $1 + 4 + 7 = 12$ है और आगे भी इसी प्रकार पद प्राप्त किए जा सकते हैं।)

क्या आप त्रिभुजाकार संख्याओं के अनुक्रम हेतु $t_5, t_6, t_7$ और $t_8$ लिख सकते हैं?

क्या आप अन्य प्रकार के अनुक्रम के विषय में विचार कर सकते हैं? पाँच विभिन्न प्रकार के अनुक्रम की सूची बनाइए और अपने मित्रों के साथ अनुक्रम के गुणों पर चर्चा कीजिए।

किसी अनुक्रम के $n$वें पद हेतु व्यापक सूत्र होना क्यों उपयोगी है?

सूत्र $u_n = 2n - 1$ का उपयोग करते हुए, विषम संख्या अनुक्रम के 53वें, 108वें तथा 1170वें पद को ज्ञात कीजिए?

क्या आप वर्ग संख्याओं के अनुक्रम के $n$वें पद को प्रदर्शित करने वाला सूत्र ज्ञात कर सकते हैं?

व्यंजक $t_n = 3n - 7$ पर विचार कीजिए।

उस अनुक्रम के प्रथम पाँच पदों को ज्ञात कीजिए, जिसका $n$वाँ पद निम्नलिखित प्रकार से दिया गया है— (i) $t_n = 3n - 4$ (ii) $t_n = 2 - 5n$ (iii) $t_n = n^2 - 2n + 3$ जहाँ $n \ge 1$ हो।

अनुक्रम $t_n = 5n - 3$ हो, जबकि $n \ge 1$ के 10वें एवं 15वें पदों को ज्ञात कीजिए।

निर्धारित कीजिए कि क्या 97 और 172 अनुक्रम $t_n = 5n - 3$ के पद हैं, जबकि $n \ge 1$ है।

अनुक्रम $t_n = 5n - 3$ जहाँ $n \ge 1$ है, में कौन-सा पद 607 है?

एक अनुक्रम $t_1 = -5, t_{n+1} = t_n + 3$ पुनरावर्ती सूत्र द्वारा दर्शाया जाता है, जब $n \ge 1$ हो। अनुक्रम के प्रथम पाँच पद ज्ञात कीजिए। क्या इस अनुक्रम का एक पद 52 है? यदि हाँ, तो यह अनुक्रम का कौन-सा पद है?

मान लीजिए, $T_1 = 1, T_2 = 2, T_3 = 4$ और $T_n = T_{n-1} + T_{n-2} + T_{n-3}$ हो, जबकि $n \ge 4$ है। $T_4, T_5, T_6, T_7$, और $T_8$ ज्ञात कीजिए।

इस अध्याय में अब तक हमने जिन अनुक्रमों पर चर्चा की है, उन पर विचार कीजिए। उनमें से कौन-सी समानांतर श्रेढ़ियाँ हैं और कौन-सी नहीं हैं? क्या आप अपने कथन को सिद्ध कर सकते हैं?

सत्यापित कीजिए कि नीचे दिए गए अनुक्रम समांतर श्रेढ़ियाँ हैं और उनके $n$वें पद लिखिए। इन अनुक्रमों से प्राप्त क्रमिक युग्मों को आलेख पत्रक पर प्रदर्शित करने पर आप क्या अवलोकन करते हैं?

सूत्र $t_n = a + (n - 1) \times d$ का उपयोग करते हुए नीचे दी गई समांतर श्रेढ़ियों के $n$वें पद ज्ञात कीजिए।

पूर्व के प्रश्नों में समानांतर श्रेढियों के लिए पुनरावर्ती सूत्र ज्ञात कीजिए।

क्या इसी विधि द्वारा $1 + 2 + 3 + ... + 100$ का योगफल ज्ञात किया जा सकता है?

क्या आप ऊपर दिए गए सूत्र का उपयोग $\text{S}_{20}, \text{S}_{50}$ या $\text{S}_{1000}$ ज्ञात करने के लिए कर सकते हैं?