Question 19 of 50intermediate🔧 ApplyEssay2 marks

क्या इसी विधि द्वारा 1+2+3+...+1001 + 2 + 3 + ... + 100 का योगफल ज्ञात किया जा सकता है?

Correct Answer

हाँ, इसी विधि द्वारा 1+2+3+...+1001 + 2 + 3 + ... + 100 का योगफल ज्ञात किया जा सकता है। इस विधि में हम संख्याओं को 1 से 100 तक योग के रूप में लिखते हैं और फिर इस योग को व्युत्क्रम रूप (पीछे से आगे) में लिखते हैं।

मान लीजिए, S=1+2+3+...+100S = 1 + 2 + 3 + ... + 100 है। इसे व्युत्क्रम क्रम में लिखने पर, S=100+99+...+1S = 100 + 99 + ... + 1 प्राप्त होता है। अब इन दोनों समीकरणों का योग करने पर हमें प्रत्येक युग्म का योग 101101 मिलता है।

इस प्रकार, 2S=101+101+...+1012S = 101 + 101 + ... + 101 (100 बार) होगा। इससे 2S=100×1012S = 100 \times 101 या S=100×1012S = \frac{100 \times 101}{2} प्राप्त होता है। अतः 1+2+3+...+1001 + 2 + 3 + ... + 100 का योगफल 50505050 होगा।

Exercise: सोचिए और विचार कीजिए | Q: 1 | (Page 184)
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Explanation

यह प्रश्न प्रथम n प्राकृत संख्याओं के योगफल की विधि की समझ का परीक्षण करता है। जैसा कि पाठ्यपुस्तक में बताया गया है, योग को व्युत्क्रम क्रम में लिखकर और दोनों को जोड़कर, हम n(n+1)/2 का सूत्र प्राप्त कर सकते हैं, जिसे n=100 के लिए लागू किया जा सकता है।

Solution Steps

  1. चरण 1: मान लीजिए S=1+2+3+...+100S = 1 + 2 + 3 + ... + 100 है।

  2. चरण 2: इसे व्युत्क्रम क्रम में लिखें: S=100+99+...+1S = 100 + 99 + ... + 1।

  3. चरण 3: दोनों समीकरणों का योग करें: 2S=101+101+...+1012S = 101 + 101 + ... + 101 (100 बार)।

  4. चरण 4: गणना करें: 2S=100×1012S = 100 \times 101, अतः S=100×1012=5050S = \frac{100 \times 101}{2} = 5050।