संख्याओं का खेल
Class 8 · Mathematics Part 1 · 83 Questions
इन प्रश्नों एवं आपके मस्तिष्क में आने वाले अन्य प्रश्नों को खोजिए तथा सभी प्रश्नों पर अपनी कक्षा में चर्चा कीजिए।
कोई 4 क्रमागत संख्याएँ लीजिए, उदाहरण के लिए 3, 4, 5 और 6 संख्याओं के बीच '+' एवं '–' चिह्न लगाइए। इस प्रकार संख्याओं को लिखने की कितनी विभिन्न संभावनाएँ हो सकती हैं उन सभी को लिखिए।
प्रत्येक व्यंजक की गणना कीजिए एवं परिणाम को इनके सामने लिखिए। क्या आपको इसमें कुछ रोचक दिखाई देता है?
अब चार अन्य क्रमागत संख्याएँ लीजिए। पूर्वानुसार '+' एवं '-' चिह्न लगाइए। प्रत्येक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए। आपने क्या अवलोकन किया?
क्या यह प्रतिरूप तब भी बनता है जब किन्हीं भी 4 क्रमागत संख्याओं का चयन किया जाता है? क्या तर्कशक्ति द्वारा इसका उत्तर प्राप्त किया जा सकता है?
अब कोई भी 4 संख्याएँ लीजिए, उनके बीच '+' और '-' चिह्न आठ विभिन्न प्रकार से लगाइए और परिणामी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए। आप उनकी समताओं के विषय में क्या अवलोकन करते हैं? इसी प्रक्रिया को 4 संख्याओं के अन्य समूहों के साथ इसे दोहराइए।
क्या ऐसी कोई पद्धति है जिससे यह समझाया जा सके कि ऐसा क्यों होता है?
व्यंजक में किसी भी एक ऋणात्मक चिह्न को एक धनात्मक चिह्न से परिवर्तित कीजिए और दोनों संख्याओं के मध्य अंतर ज्ञात कीजिए।
आपको अवलोकन से क्या परिणाम प्राप्त होता है?
इस पर विचार करने का प्रयास कीजिए कि यह कैसे संभव है? (धनात्मक और ऋणात्मक टोकन प्रतिरूप का उपयोग करके व्याख्या की जा सकती है, जिसे आपने पूर्णाकों पर आधारित अध्याय में पढ़ा था।)
बिना गणना किए ज्ञात कीजिए कि निम्न में से कौन-से अंकगणितीय व्यंजक सम हैं?
विभिन्न संक्रियाओं के अंतर्गत समता कैसे व्यवहार करती है, हमारी इस समझ का उपयोग करके पता लगाइए कि अक्षर-संख्याओं (चर संख्याएँ) के किसी भी पूर्णांक मान के लिए नीचे दिए गए बीजगणितीय व्यंजकों में से किन व्यंजकों का मान एक सम संख्या के रूप में प्राप्त होता है।
इसी प्रकार ज्ञात कीजिए एवं व्याख्या कीजिए कि कौन-से अन्य व्यंजकों का मान सदैव सम संख्याएँ होती हैं। प्रत्येक व्यंजक के लिए मान सम संख्या होने व सम संख्या ना होने के कुछ उचित उदाहरण दीजिए।
कुछ बीजगणितीय व्यंजक लिखिए जिनका मान सदैव सम संख्या होता है।
सम संख्याओं का एक युग्म लीजिए तथा उनका योग कीजिए। क्या यह योग 4 से विभाज्य है? इसे सम संख्याओं के विभिन्न युग्मों के लिए प्रयोम कीजिए। कब योगफल 4 का एक गुणज है और कब नहीं है? क्या इसका कोई सामान्य नियम या प्रतिरूप है?
दो सम संख्याओं का योग कब 4 के गुणज के रूप में प्राप्त होगा?
क्या होगा जब हम एक 4 की गुणज संख्या को ऐसी सम संख्या जो 4 की गुणज ना हो के साथ जोड़ते हैं? क्या यह एक सम संख्या एवं एक विषम संख्या के योग की समता के समान है?
यदि 8 दो संख्याओं को भिन्न-भिन्न प्रकार से विभाजित करता है, तो यह उनके योग को भी अवश्य ही पूर्णतः विभाजित करेगा। निर्धारित कीजिए कि क्या घटाव के साथ यह सत्य होगा।
निर्धारित कीजिए कि यह कथन 'सदैव सत्य है', 'कभी-कभी सत्य है' या 'कभी सत्य नहीं है': यदि कोई संख्या 12 से विभाज्य है तो वह संख्या 12 के सभी गुणनखंडों से भी विभाज्य होगी।
निर्धारित कीजिए कि यह कथन 'सदैव सत्य है', 'कभी-कभी सत्य है' या 'कभी सत्य नहीं है': यदि कोई संख्या 7 से विभाज्य है तो वह 7 के किसी भी गुणज से विभाज्य होगी।