जितना बाँटेंगे उतना बढ़ेगा

दो संख्याओं के गुणन पर विचार कीजिए, मान लीजिए यह $23 \times 27$ है। यदि पहली संख्या (23) में 1 की वृद्धि की जाए तो गुणनफल में कितनी वृद्धि होगी?

दो संख्याओं के गुणन पर विचार कीजिए, मान लीजिए यह $23 \times 27$ है। यदि दूसरी संख्या (27) में 1 की वृद्धि की जाए तो गुणनफल में क्या परिवर्तन होगा?

दो संख्याओं के गुणन पर विचार कीजिए, मान लीजिए यह $23 \times 27$ है। जब दोनों संख्याओं में 1 की वृद्धि की जाए तब गुणनफल में क्या परिवर्तन होगा?

दो संख्याओं के गुणन पर विचार कीजिए, मान लीजिए यह $23 \times 27$ है। क्या आपको कोई ऐसा प्रतिरूप दिखाई देता है जो किन्हीं दो संख्याओं के गुणनफल के हमारे अवलोकन को सामान्यीकृत करने में सहायक हो?

$(a + 1)(b + 1)$ का प्रसार किस प्रकार करें? मान लीजिए $(a + 1)$ एक एकल पद है। तब वितरण गुणधर्म से हमें क्या प्राप्त होता है?

यदि हम पहले $(b + 1)$ को एकल पद मानकर $(a + 1) (b + 1)$ का प्रसार करें तब हमें क्या प्राप्त होता? इसे हल करने का प्रयास कीजिए?

यदि किसी गुणनफल की पहली संख्या में 1 की वृद्धि और दूसरी संख्या में 1 की कमी की जाए तो हमें क्या प्राप्त होगा? क्या उनके गुणनफल में कोई परिवर्तन होगा?

क्या गुणनफल में सदैव वृद्धि होगी? ऐसे तीन उदाहरणों का पता लगाइए जहाँ गुणनफल घटता है।

क्या होगा जब $a$ और $b$ ऋणात्मक पूर्णांक हों? उपर्युक्त प्रत्येक स्थिति में $a$ और $b$ के लिए विभिन्न मान प्रतिस्थापित करके जाँच कीजिए। उदाहरण के लिए $a = -5, b = 8; a = -4, b = -5$ इत्यादि।

यदि दो संख्याओं में से एक में $m$ और दूसरी में $n$ की वृद्धि कर दी जाए तो उनके गुणनफल में कितना परिवर्तन होगा?

सर्वसमिका 1: $(a + m) (b + n) = ab + mb + an + mn$ का उपयोग यह ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है कि जब गुणा की जाने वाली संख्याओं में किसी भी मात्रा में वृद्धि या कमी की जाती है तो उनके गुणनफल में क्या परिवर्तन होता है। क्या आप समझ सकते हैं कि एक संख्या या दोनों संख्याओं में कमी करने पर इस सर्वसमिका का प्रयोग किस प्रकार किया जा सकता है?

सर्वसमिका 1 का प्रयोग करके ज्ञात कीजिए कि गुणनफल में किस प्रकार परिवर्तन होता है जब — (i) एक संख्या में 2 की कमी की जाती है और दूसरी संख्या में 3 की वृद्धि की जाती है। (ii) दोनों संख्याओं में से एक में 3 की कमी तथा दूसरी में 4 की कमी की जाती है।

व्यवकलन (घटाव) को योग (जोड़) में परिवर्तन किए बिना गुणनफल ज्ञात कीजिए एवं उत्तरों की जाँच कीजिए।

विस्तार कीजिए (i) $(a - u) (b + v)$, (ii) $(a - u) (b - v)$

क्या किन्हीं भी दो पदों का योग करके एकल पद प्राप्त किया जा सकता है? उदाहरण के लिए क्या $\frac{3}{2}a^2$ और $\frac{3}{10}a$ का योग करके एकल पद प्राप्त किया जा सकता है?

निम्नलिखित गुणनफलों का विस्तार कीजिए। (i) $(3 + u) (v - 3)$ (ii) $\frac{2}{3} (15 + 6a)$ (iii) $(10a + b) (10c + d)$ (iv) $(3 - x) (x - 6)$ (v) $(-5a + b) (c + d)$ (vi) $(5 + z) (y + 9)$

ऐसे तीन उदाहरण दीजिए जिनमें दो संख्याओं में से एक संख्या में 2 की वृद्धि की जाए और दूसरी संख्या में 4 की कमी की जाए तो भी उनके गुणनफल अपरिवर्तित रहें।

विस्तार कीजिए (i) $(a + ab - 3b^2) (4 + b)$ और (ii) $(4y + 7) (y + 11z - 3)$

विस्तार कीजिए (i) $(a - b) (a + b)$ (ii) $(a - b) (a^2 + ab + b^2)$ और (iii) $(a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)$ क्या इनमें आपको कोई प्रतिरूप दिखाई देता है? आपको दिखाई देने वाले प्रतिरूप में अगली सर्वसमिका क्या होगी? क्या आप इसकी जाँच सर्वसमिका को विस्तारित करके कर सकते हैं?

किसी संख्या को 11 से गुणा करने पर एक ही चरण में गुणनफल ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित गुणन का उपयोग कीजिए। (i) $3874 \times 11$ (ii) $5678 \times 11$