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क्या गुणनफल में सदैव वृद्धि होगी? ऐसे तीन उदाहरणों का पता लगाइए जहाँ गुणनफल घटता है।

Correct Answer

नहीं, गुणनफल में सदैव वृद्धि नहीं होगी। यदि पहली संख्या aa में 1 की वृद्धि और दूसरी संख्या bb में 1 की कमी की जाए, तो नया गुणनफल (a+1)(b−1)(a + 1)(b - 1) होगा। इसका प्रसार करने पर हमें ab+b−a−1ab + b - a - 1 प्राप्त होता है। यदि aa का मान bb से अधिक हो, तो b−a−1b - a - 1 ऋणात्मक हो जाता है, जिससे गुणनफल घटता है।

इसके तीन उदाहरण निम्नलिखित हैं जहाँ गुणनफल घटता है:

  1. a=5,b=3a = 5, b = 3: मूल गुणनफल 5×3=155 \times 3 = 15। नया गुणनफल (5+1)×(3−1)=6×2=12(5+1) \times (3-1) = 6 \times 2 = 12।
  2. a=10,b=8a = 10, b = 8: मूल गुणनफल 10×8=8010 \times 8 = 80। नया गुणनफल (10+1)×(8−1)=11×7=77(10+1) \times (8-1) = 11 \times 7 = 77।
  3. a=15,b=10a = 15, b = 10: मूल गुणनफल 15×10=15015 \times 10 = 150। नया गुणनफल (15+1)×(10−1)=16×9=144(15+1) \times (10-1) = 16 \times 9 = 144।
Exercise: 6.1 गुणन के कुछ गुणधर्म | Q: 4 | (Page 138)
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Explanation

जब एक संख्या में वृद्धि और दूसरी में कमी की जाती है, तो गुणनफल में होने वाला परिवर्तन b−a−1b - a - 1 पर निर्भर करता है। यदि पहली संख्या दूसरी संख्या से बड़ी हो, तो यह मान ऋणात्मक होता है और गुणनफल घटता है।

Solution Steps

  1. Step 1: गुणनफल (a+1)(b−1)(a + 1)(b - 1) का प्रसार करने पर ab+b−a−1ab + b - a - 1 प्राप्त होता है।

  2. Step 2: यदि a>ba > b हो, तो b−a−1b - a - 1 ऋणात्मक होगा, अर्थात गुणनफल घटेगा।

  3. Step 3: उदाहरण 1: 5×3=155 \times 3 = 15 और 6×2=126 \times 2 = 12 (गुणनफल घटा)।

  4. Step 4: उदाहरण 2: 10×8=8010 \times 8 = 80 और 11×7=7711 \times 7 = 77 (गुणनफल घटा)।

  5. Step 5: उदाहरण 3: 15×10=15015 \times 10 = 150 और 16×9=14416 \times 9 = 144 (गुणनफल घटा)।