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ऐसे तीन उदाहरण दीजिए जिनमें दो संख्याओं में से एक संख्या में 2 की वृद्धि की जाए और दूसरी संख्या में 4 की कमी की जाए तो भी उनके गुणनफल अपरिवर्तित रहें।

Correct Answer

मान लीजिए दो संख्याएँ aa और bb हैं। एक संख्या में 2 की वृद्धि और दूसरी में 4 की कमी करने पर नया गुणनफल (a+2)(b−4)(a+2)(b-4) होगा। इसे सर्वसमिका 1 द्वारा विस्तारित करने पर (a+2)(b−4)=ab+2b−4a−8(a+2)(b-4)=ab+2b-4a-8 प्राप्त होता है। गुणनफल अपरिवर्तित रहने के लिए ab+2b−4a−8=abab+2b-4a-8=ab, अतः 2b−4a−8=02b-4a-8=0, यानी b=2a+4b=2a+4। इस प्रतिरूप के आधार पर तीन उदाहरण निम्नलिखित हैं —

  1. a=1,b=6a=1, b=6: 1×6=61 \times 6=6 और (1+2)×(6−4)=3×2=6(1+2) \times (6-4)=3 \times 2=6।
  2. a=2,b=8a=2, b=8: 2×8=162 \times 8=16 और (2+2)×(8−4)=4×4=16(2+2) \times (8-4)=4 \times 4=16।
  3. a=3,b=10a=3, b=10: 3×10=303 \times 10=30 और (3+2)×(10−4)=5×6=30(3+2) \times (10-4)=5 \times 6=30।
Exercise: आइए, पता लगाएँ | Q: 3 | (Page 143)
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Explanation

यह प्रश्न सर्वसमिका 1, अर्थात् (a+m)(b+n)=ab+mb+an+mn(a+m)(b+n)=ab+mb+an+mn, के प्रयोग पर आधारित है। यहाँ m=2m=2 और n=−4n=-4 लेने पर गुणनफल में परिवर्तन 2b−4a−82b-4a-8 होता है। इस परिवर्तन को शून्य रखने पर b=2a+4b=2a+4 का संबंध मिलता है, जिससे अपेक्षित उदाहरण प्राप्त किए जा सकते हैं।

Solution Steps

  1. चरण 1: नया गुणनफल (a+2)(b−4)(a+2)(b-4) लिखिए।

  2. चरण 2: सर्वसमिका 1 से विस्तार कीजिए — (a+2)(b−4)=ab+2b−4a−8(a+2)(b-4)=ab+2b-4a-8।

  3. चरण 3: गुणनफल अपरिवर्तित रखने के लिए 2b−4a−8=02b-4a-8=0 रखिए, जिससे b=2a+4b=2a+4।

  4. चरण 4: a=1,2,3a=1,2,3 लेने पर क्रमशः (1,6)(1,6), (2,8)(2,8) और (3,10)(3,10) के युग्म प्राप्त होते हैं, जिनका गुणनफल अपरिवर्तित रहता है।