तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा
Class 7 · Mathematics Part 1 · 40 Questions
जब तीनों शीर्ष एक सरल रेखा पर स्थित होते हैं तब क्या होता है?
हम इस रचना को किस प्रकार अधिक सक्षम बना सकते हैं?
यह रचना सुनिश्चित करती है कि AC और BC दोनों की ही लंबाई 4 से.मी. है। क्या आप बता सकते हैं कि ऐसा क्यों है?
हम इस त्रिभुज की रचना अधिक सक्षमता से किस प्रकार कर सकते हैं?
यहाँ लंबाइयों का एक अन्य समूह भी है — 2 से.मी., 3 से.मी. और 6 से.मी.। जाँच कीजिए कि क्या इन लंबाइयों की भुजाओं से एक त्रिभुज बनाना संभव है।
भुजाओं की लंबाइयों के कुछ अन्य समूह ज्ञात करने का प्रयास कीजिए जिनके लिए एक त्रिभुज की रचना असंभव है। देखिए कि क्या आप इनमें कोई पैटर्न ज्ञात कर सकते हैं?
क्या 10 से.मी., 15 से.मी. और 30 से.मी. की लंबाइयों की भुजाओं वाले एक त्रिभुज के अस्तित्व के विषय में कुछ बताने के लिए इस समझ का उपयोग किया जा सकता है?
क्या हम 3 से.मी., 3 से.मी. और 7 से.मी. लंबाइयों की भुजाओं वाले एक त्रिभुज के अस्तित्व के बारे में जान सकते हैं? अपने उत्तर का सत्यापन इसकी रचना द्वारा कीजिए।
क्या त्रिभुज में लंबाइयों की ऐसी पुनर्व्यवस्था संभव है?
हमने रचना द्वारा जाँच की है कि भुजाओं की लंबाइयों 3 से.मी., 4 से.मी. और 8 से.मी. तथा 2 से.मी., 3 से.मी. और 6 से.मी. वाले त्रिभुज बनाने संभव नहीं हैं। जाँच कीजिए कि क्या आप त्रिभुज की रचना किए बिना इस तथ्य का पता लगा सकते थे?
क्या हम लंबाइयों के निम्नलिखित समूहों में से प्रत्येक के लिए एक त्रिभुज के अस्तित्व के बारे में बता सकते हैं? (a) 10 कि.मी., 10 कि.मी. और 25 कि.मी. (b) 5 मि.मी., 10 मि.मी. और 20 मि.मी. (c) 12 से.मी., 20 से.मी. और 40 से.मी.
अभी तक देखी गई लंबाइयों के प्रत्येक समूह में आपने इस ओर अवश्य ही ध्यान दिया होगा कि न्यूनतम दो तुलनाओं में एक सीधी लंबाई अन्य दो लंबाइयों के योग से कम थी (यदि नहीं तो पुनः जाँच कीजिए)। उदाहरणार्थ, 10 से.मी., 15 से.मी. और 30 से.मी. की लंबाइयों के समूह के लिए ऐसा घटित होने वाली दो तुलनाएँ ये हैं — 10 < 15 + 30, 15 < 10 + 30 परंतु यह बात तीसरी लंबाई के लिए घटित नहीं होती है — 30 > 10 + 15 है।
क्या ऐसा सदैव होगा? अर्थात लंबाइयों के किसी भी समूह के लिए न्यूनतम दो तुलनाएँ होंगी जिनमें एक लंबाई अन्य दो लंबाइयों के योग से कम होगी? लंबाइयों के भिन्न-भिन्न समूहों के लिए इसका पता लगाइए।
आगे लंबाइयों के एक दिए हुए समूह के लिए क्या बिना किसी परिकलन के इसकी तुरंत पहचान करना संभव है कि कौन-सी लंबाई अन्य दोनों लंबाइयों के योग से कम है? (संकेत — बढ़ते क्रम में सीधी लंबाइयों पर विचार कीजिए।)
भुजाओं की तीन लंबाइयाँ प्राप्त करने पर हमें एक त्रिभुज के अस्तित्व की जाँच करने के लिए किसकी तुलना करने की आवश्यकता है?
क्या 4 से.मी., 5 से.मी. और 8 से.मी. की भुजाओं की लंबाइयों वाले एक त्रिभुज का अस्तित्व है?
हमें अन्य दो भुजाओं की जाँच करने की आवश्यकता क्यों नहीं है?
क्या इससे एक त्रिभुज के अस्तित्व की पुष्टि होती है?
क्या बिना वास्तविक रचना किए यह निर्धारित करना संभव है कि ऐसा होगा या नहीं?
निम्नलिखित में से कौन-सी लंबाइयाँ एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाइयाँ हो सकती हैं? अपने उत्तरों को स्पष्ट कीजिए। ध्यान दीजिए कि प्रत्येक समूह में तीनों लंबाइयों के मापन की इकाई समान है। (a) 2, 2, 5 (b) 3, 4, 6 (c) 2, 4, 8 (d) 5, 5, 8 (e) 10, 20, 25 (f) 10, 20, 35 (g) 24, 26, 28