अभी तक देखी गई लंबाइयों के प्रत्येक समूह में आपने इस ओर अवश्य ही ध्यान दिया होगा कि न्यूनतम दो तुलनाओं में एक सीधी लंबाई अन्य दो लंबाइयों के योग से कम थी (यदि नहीं तो पुनः जाँच कीजिए)। उदाहरणार्थ, 10 से.मी., 15 से.मी. और 30 से.मी. की लंबाइयों के समूह के लिए ऐसा घटित होने वाली दो तुलनाएँ ये हैं — 10 < 15 + 30, 15 < 10 + 30 परंतु यह बात तीसरी लंबाई के लिए घटित नहीं होती है — 30 > 10 + 15 है।
हाँ, लंबाइयों के किसी भी समूह के लिए न्यूनतम दो तुलनाएँ होंगी जिनमें एक लंबाई अन्य दो लंबाइयों के योग से कम होगी। बिना किसी परिकलन के इसकी पहचान करने के लिए, हम लंबाइयों को बढ़ते क्रम में व्यवस्थित कर सकते हैं। इस क्रम में, सबसे छोटी दो लंबाइयाँ स्वतः ही तीसरी (सबसे बड़ी) लंबाई से कम होंगी, और इसलिए वे अन्य दो लंबाइयों के योग से भी कम होंगी।
भुजाओं की तीन लंबाइयाँ प्राप्त करने पर, एक त्रिभुज के अस्तित्व की जाँच करने के लिए हमें यह तुलना करने की आवश्यकता है कि क्या प्रत्येक लंबाई अन्य दो लंबाइयों के योग से कम है। यदि प्रत्येक लंबाई अन्य दो लंबाइयों के योग से कम है, तो लंबाइयाँ त्रिभुज असमिका (triangle inequality) को संतुष्ट करती हैं और त्रिभुज का अस्तित्व संभव है।
Explanation
पाठ्यसामग्री के अनुसार, लंबाइयों को बढ़ते क्रम में लगाने पर सबसे छोटी दो लंबाइयाँ स्वतः ही तीसरी से कम होती हैं, जिससे बिना परिकलन के दो तुलनाएँ पूरी हो जाती हैं। त्रिभुज के अस्तित्व की जाँच के लिए यह देखा जाता है कि क्या लंबाइयों का समूह त्रिभुज असमिका को संतुष्ट करता है, अर्थात प्रत्येक लंबाई अन्य दो लंबाइयों के योग से कम है या नहीं।