समष्टि मापन — परिमाप और क्षेत्रफल

इस प्रश्न और 400 मीटर दौड़-पथ से संबंधित प्रश्न के मध्य क्या संबंध है?

किसी आयत का क्षेत्रफल उसकी भुजाओं की लंबाई ज्ञात होने पर ज्ञात किया जा सकता है। क्या समांतर चतुर्भुज के लिए भी यही सत्य है? अर्थात क्या भुजाओं की लंबाई ज्ञात होने पर समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है? क्यों अथवा क्यों नहीं?

$\Delta ABD$ और $\Delta ACD$ समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुज हैं, आप आश्चर्यचकित होंगे कि एक सरल रेखा से $\Delta ABD$ को ऐसे दो या अधिक टुकड़ों में विभाजित कर सकते हैं जो $\Delta ACD$ को संपूर्णतया ढक ले? आपके विचार में क्या यह संभव है?

मान लीजिए कि दो समान क्षेत्रफलों वाले बहुभुज P और Q दिए गए हैं। क्या उनमें से एक को सीधी रेखा से दो या अधिक भागों में इस प्रकार बाँटना संभव है और फिर उन कटे हुए भागों को इस प्रकार से व्यवस्थित करना संभव है कि वे सभी भाग मिलकर दूसरे बहुभुज को भी पूरा ढक लें? अपने चारों ओर की आकृतियों के उदाहरण सोचिए — 1. समान क्षेत्रफल वाले वर्ग और गैर-वर्गाकार आयत, 2. भिन्न-भिन्न आकृति वाले दो त्रिभुज जिनका क्षेत्रफल समान है। 3. समान क्षेत्रफल वाला एक त्रिभुज और एक वर्ग इसे आप अपनी कल्पना से तैयार कीजिए। आप इसके विषय में अपनी परिकल्पना तैयार कीजिए।

40 इकाई परिमाप वाले विभिन्न आयतों के विषय में विचार कीजिए (भुजाओं का पूर्णांक होना आवश्यक नहीं है)।

मनुष्य वृत्ताकार आकृतियों का इतना अधिक उपयोग क्यों करते थे? क्या यह केवल व्यावहारिक कारकों से था अथवा इसके पीछे अन्य कारण भी हो सकते थे? मनुष्य ने वृत्ताकार आकृतियों के लिए किस प्रकार की वस्तुएँ अन्वेषित की हैं?

एक वृत्त का परिमाप 44 सेंटीमीटर है। इसकी त्रिज्या क्या होगी?

निम्नलिखित वृत्तों की परिधि की गणना 3 दशमलव स्थानों तक कीजिए—

वृत्त की चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि —

14 सेंटीमीटर त्रिज्या और $75^{\circ}$ त्रिज्यखंड कोण वाले वृत्त के त्रिज्यखंड (अर्थात एक वक्र भाग और दो सीधी रेखा वाले भाग) का परिमाप ज्ञात कीजिए।

यदि कार के पहिए का व्यास 56 सेंटीमीटर है तो —

दो वृत्तों के परिमाप का अनुपात 5:4 है। उनकी त्रिज्या का अनुपात क्या है?

एक समलंब चतुर्भुज की समांतर भुजाएँ 40 सेंटीमीटर और 20 सेंटीमीटर हैं। यदि इसकी दोनों असमांतर भुजाएँ समान हों और प्रत्येक 26 सेंटीमीटर हो तो समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी भुजाओं की लंबाई 8 सेंटीमीटर और 11 सेंटीमीटर है तथा उसका परिमाप 32 सेंटीमीटर है।

एक त्रिभुजाकार भूखंड की भुजाओं का अनुपात 3:5:7 है और इसका परिमाप 300 मीटर है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एक समचतुर्भुज के एक विकर्ण की लंबाई दूसरे विकर्ण की लंबाई से दोगुनी है। यदि समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 128 वर्ग सेंटीमीटर है तो इसके छोटे विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। P और Q भुजा AB पर स्थित कोई दो बिंदु हैं तो $\Delta$PCD और $\Delta$QCD के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समांतर चतुर्भुज PQRS के विकर्ण PR पर स्थित कोई O बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि PSO और PQO त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हैं।

यदि एक चतुर्भुज की भुजाओं के मध्यबिंदु को क्रम से जोड़ा जाए तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दिए गए चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होगा। (आप सोच रहे होंगे कि क्या इस प्रकार बना चतुर्भुज हमेशा समांतर चतुर्भुज ही होता है। यदि हाँ, तो क्यों? इस प्रकार के प्रश्नों के उत्तर चतुर्भुज वाले अध्याय में मिलेंगे।)

यदि त्रिज्यखंड का कोण $60^{\circ}$ है तो 7 सेंटीमीटर त्रिज्या वाले वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।