Question 18 of 41intermediate🔍 AnalyzeLong Answer4 marks

समांतर चतुर्भुज PQRS के विकर्ण PR पर स्थित कोई O बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि PSO और PQO त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हैं।

Correct Answer

दिया गया है: PQRS एक समांतर चतुर्भुज है और O इसके विकर्ण PR पर स्थित कोई बिंदु है।

हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसे दो समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभाजित करता है। अतः, क्षेत्रफल(ΔPQR)=क्षेत्रफल(ΔPRS)\text{क्षेत्रफल}(\Delta PQR) = \text{क्षेत्रफल}(\Delta PRS) है।

अब, ΔQOR\Delta QOR और ΔSOR\Delta SOR पर विचार करते हैं। इन दोनों त्रिभुजों का आधार OR समान है। चूँकि ΔPQR\Delta PQR और ΔPRS\Delta PRS सर्वांगसम हैं, इसलिए शीर्ष Q और S से विकर्ण PR पर डाली गई ऊँचाई समान होगी।

इसलिए, समान आधार और समान ऊँचाई होने के कारण क्षेत्रफल(ΔQOR)=क्षेत्रफल(ΔSOR)\text{क्षेत्रफल}(\Delta QOR) = \text{क्षेत्रफल}(\Delta SOR) है।

समीकरणों को घटाने पर: क्षेत्रफल(ΔPQR)−क्षेत्रफल(ΔQOR)=क्षेत्रफल(ΔPRS)−क्षेत्रफल(ΔSOR)\text{क्षेत्रफल}(\Delta PQR) - \text{क्षेत्रफल}(\Delta QOR) = \text{क्षेत्रफल}(\Delta PRS) - \text{क्षेत्रफल}(\Delta SOR)

इससे हमें प्राप्त होता है कि क्षेत्रफल(ΔPQO)=क्षेत्रफल(ΔPSO)\text{क्षेत्रफल}(\Delta PQO) = \text{क्षेत्रफल}(\Delta PSO)। अतः सिद्ध हुआ।

Exercise: प्रश्नावली 6.2 | Q: 7 | (Page 25)
For More Understanding

Explanation

समांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में बाँटता है, जिनके क्षेत्रफल समान होते हैं। विकर्ण पर स्थित बिंदु O से बने छोटे त्रिभुजों के क्षेत्रफल भी समान आधार और समान ऊँचाई के गुण के रूप में सिद्ध किए जाते हैं।

Solution Steps

  1. Step 1: PQRS एक समांतर चतुर्भुज है, अतः विकर्ण PR इसे दो समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में बाँटता है: क्षेत्रफल(ΔPQR)=क्षेत्रफल(ΔPRS)\text{क्षेत्रफल}(\Delta PQR) = \text{क्षेत्रफल}(\Delta PRS)।

  2. Step 2: ΔQOR\Delta QOR और ΔSOR\Delta SOR का आधार OR समान है और शीर्ष Q व S से PR पर ऊँचाई भी समान है, अतः क्षेत्रफल(ΔQOR)=क्षेत्रफल(ΔSOR)\text{क्षेत्रफल}(\Delta QOR) = \text{क्षेत्रफल}(\Delta SOR)।

  3. Step 3: दोनों समीकरणों को घटाने पर क्षेत्रफल(ΔPQO)=क्षेत्रफल(ΔPSO)\text{क्षेत्रफल}(\Delta PQO) = \text{क्षेत्रफल}(\Delta PSO) प्राप्त होता है।

PreviousNext