Question 17 of 41intermediate🔧 ApplyShort Answer3 marks

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। P और Q भुजा AB पर स्थित कोई दो बिंदु हैं तो Δ\DeltaPCD और Δ\DeltaQCD के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Correct Answer

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और P, Q भुजा AB पर स्थित हैं। चूँकि AB || CD है, इसलिए बिंदु P और Q से आधार CD पर डाली गई ऊँचाई समांतर चतुर्भुज ABCD की ऊँचाई के बराबर होगी।

हम जानते हैं कि त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र 12×(आधार×ऊँचाई)\frac{1}{2} \times (\text{आधार} \times \text{ऊँचाई}) है। यहाँ दोनों त्रिभुजों Δ\DeltaPCD और Δ\DeltaQCD का आधार CD है और ऊँचाई समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई hh है।

अतः Δ\DeltaPCD का क्षेत्रफल =12×CD×h= \frac{1}{2} \times CD \times h और Δ\DeltaQCD का क्षेत्रफल =12×CD×h= \frac{1}{2} \times CD \times h होगा। चूँकि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल =CD×h= CD \times h है, इसलिए दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल का आधा होगा और दोनों के क्षेत्रफल एक-दूसरे के बराबर होंगे।

Exercise: प्रश्नावली 6.2 | Q: 6 | (Page 25)
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Explanation

समांतर चतुर्भुज की समांतर भुजाओं के बीच की दूरी हर जगह समान होती है। इसलिए AB पर स्थित किसी भी बिंदु से CD पर डाली गई लंब ऊँचाई समान रहेगी। त्रिभुज का क्षेत्रफल 12×आधार×ऊँचाई\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} होता है, जो इसे समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा बनाता है।

Solution Steps

  1. चरण 1: चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, इसलिए AB || CD है और बिंदु P तथा Q भुजा AB पर स्थित हैं।

  2. चरण 2: बिंदु P और Q से आधार CD पर डाली गई ऊँचाई समांतर चतुर्भुज ABCD की ऊँचाई hh के बराबर होगी।

  3. चरण 3: त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र 12×(आधार×ऊँचाई)\frac{1}{2} \times (\text{आधार} \times \text{ऊँचाई}) का उपयोग करने पर, Δ\DeltaPCD का क्षेत्रफल =12×CD×h= \frac{1}{2} \times CD \times h।

  4. चरण 4: इसी प्रकार Δ\DeltaQCD का क्षेत्रफल =12×CD×h= \frac{1}{2} \times CD \times h। अतः दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हैं और समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के आधे के बराबर हैं।

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