वर्ग और घन

प्रक्रिया के आरंभ होने से पूर्व ही खोईसनाम को समझ में आ गया कि अंत में कौन-से लॉकर खुले मिलेंगे। बताइए कि उसने इस उत्तर को कैसे ज्ञात किया होगा? संकेत — पता लगाइए कि प्रत्येक लॉकर कितनी बार घुमाया गया।

क्या प्रत्येक संख्या के गुणनखंडों की संख्या सम संख्या होती है?

क्या प्रत्येक संख्या के गुणनखंडों की संख्या सम संख्या होती है?

कुछ स्थितियों में हम देखते हैं कि गुणनखंड युग्म में संख्याएँ समान होती हैं, जैसे — $2 \times 2$

क्या आप उपर्युक्त समझ का उपयोग करके अन्य संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं जिनके गुणनखंडों की संख्या विषम हो?

उदाहरण के लिए 36 का एक गुणनखंड युग्म $6 \times 6$ है, यहाँ दोनों संख्याएँ 6 हैं। क्या इस संख्या के गुणनखंडों की संख्या विषम है? यहाँ 6 के अतिरिक्त 36 के प्रत्येक गुणनखंड का सह-गुणनखंड भिन्न है तब हम निश्चित रूप से कह सकते हैं कि 36 के गुणनखंडों की संख्या विषम होगी। क्या यह कथन सत्य है? जाँच कीजिए।

उन लॉकर की संख्याएँ लिखिए जो खुले रहते हैं।

गुप्त संकेत (passcode) में पहले पाँच लॉकर की संख्याएँ सम्मिलित हैं जिन्हें ठीक दो बार घुमाया गया था। ये पाँच लॉकर कौन-से हैं?

क्या हम $\frac{3}{5}$ या 2.5 इकाई भुजा वाला वर्ग बना सकते हैं?

प्रथम 30 प्राकृत संख्याओं के वर्ग ज्ञात कीजिए और उन्हें निम्न तालिका में अंकित कीजिए। अपने उपर्युक्त तालिका में किन प्रतिरूपों का अवलोकन किया? अपने अवलोकनों को अपने सहपाठियों के साथ साझा कीजिए एवं अनुमान लगाइए।

यदि कोई संख्या 0, 1, 4, 5, 6 या 9 पर समाप्त होती है तो क्या वह सदैव एक वर्ग संख्या होगी।

ऐसी 5 संख्याएँ लिखिए जिनके इकाई अंक को देखकर आप यह निर्धारित कर सकें कि वे वर्ग नहीं हैं।

वर्ग $1^2, 9^2, 11^2, 19^2, 21^2$ और $29^2$ इन सभी संख्याओं का इकाई अंक 1 है। अब आप ऐसे अगले दो वर्ग और लिखिए। ध्यान दीजिए यदि किसी संख्या का इकाई अंक 1 या 9 है तो उसके वर्ग का इकाई अंक 1 होता है।

आइए, 6 पर समाप्त होने वाली वर्ग संख्याओं पर विचार करें — $16 = 4^2, 36 = 6^2, 196 = 14^2, 256 = 16^2, 576 = 24^2$ और $676 = 26^2$। निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याओं में इकाई का अंक 6 है? (i) $38^2$ (ii) $34^2$ (iii) $46^2$ (iv) $56^2$ (v) $74^2$ (vi) $82^2$

आपके द्वारा पूरित तालिका से संख्याओं और उनके वर्गों का अवलोकन करके ऐसे और अधिक प्रतिरूप खोजिए।

यदि किसी संख्या के अंत में 3 शून्य हैं तो उसके वर्ग के अंत में कितने शून्य होंगे?

आपने किसी संख्या के अंत में शून्यों की संख्या और इसके वर्ग के अंत में शून्यों की संख्या के विषय में क्या अवलोकन किया? क्या ऐसा सदैव होता रहेगा? क्या हम कह सकते हैं कि वर्गों के अंत में शून्यों की संख्या केवल सम संख्या ही हो सकती है?

किसी संख्या और उसके वर्ग की अनुरूपता के विषय में आपके क्या विचार हैं?

क्रमागत वर्गों के मध्य अंतर देखें: $4 - 1 = 3$, $9 - 4 = 5$, $16 - 9 = 7$, $25 - 16 = 9$। ध्यान दीजिए कि क्या यह प्रतिरूप अगली कुछ वर्ग संख्याओं तक बना रहता है?

क्या आपको कक्षा 6 में पढ़ा गया यह प्रतिरूप स्मरण है?

उपर्युक्त प्रतिरूप का उपयोग करके $36^2$ ज्ञात कीजिए जबकि $35^2 = 1225$ है।

हम 36वीं विषम संख्या कैसे ज्ञात करेंगे?