Question 17 of 58beginner🔍 AnalyzeShort Answer2 marks

क्रमागत वर्गों के मध्य अंतर देखें: 4−1=34 - 1 = 3, 9−4=59 - 4 = 5, 16−9=716 - 9 = 7, 25−16=925 - 16 = 9। ध्यान दीजिए कि क्या यह प्रतिरूप अगली कुछ वर्ग संख्याओं तक बना रहता है?

Correct Answer

हाँ, यह प्रतिरूप अगली कुछ वर्ग संख्याओं तक बना रहता है। जब हम क्रमागत वर्गों के मध्य का अंतर निकालते हैं, तो हमें 1 से आरंभ होने वाली क्रमागत विषम संख्याएँ प्राप्त होती हैं।

अगली वर्ग संख्याओं के लिए अंतर इस प्रकार हैं:

36−25=1136 - 25 = \mathbf{11} 49−36=1349 - 36 = \mathbf{13} 64−49=1564 - 49 = \mathbf{15} 81−64=1781 - 64 = \mathbf{17}

इस प्रतिरूप से हम देखते हैं कि 1 से आरंभ होने वाली क्रमागत विषम संख्याओं को जोड़ने पर क्रमागत वर्ग संख्याएँ प्राप्त होती हैं, जैसे 1+3+5+7+9+11=361 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = \mathbf{36} और 1+3+5+7+9+11+13=491 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = \mathbf{49}। इस प्रकार, यह प्रतिरूप आगे भी जारी रहता है।

Exercise: पूर्ण वर्ग और विषम संख्याएँ | Q: IT17 | (Page 5)
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Explanation

पाठ्यपुस्तक के अनुसार, क्रमागत वर्गों के मध्य का अंतर हमेशा 1 से आरंभ होने वाली क्रमागत विषम संख्याएँ देता है। यह प्रतिरूप अगली सभी वर्ग संख्याओं के लिए भी लागू होता है, जिससे यह सिद्ध होता है कि प्रत्येक वर्ग संख्या को 1 से आरंभ होने वाली क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

Solution Steps

  1. चरण 1: अगली वर्ग संख्याओं के मध्य का अंतर निकालें: 36−25=1136 - 25 = 11, 49−36=1349 - 36 = 13, 64−49=1564 - 49 = 15, 81−64=1781 - 64 = 17।

  2. चरण 2: यह देखें कि अंतर 1 से आरंभ होने वाली क्रमागत विषम संख्याओं (11, 13, 15, 17) के रूप में हैं।

  3. चरण 3: निष्कर्ष निकालें कि यह प्रतिरूप आगे भी बना रहता है, जहाँ क्रमागत विषम संख्याओं के योग से वर्ग संख्याएँ प्राप्त होती हैं।