चतुर्भुज

क्या आयत को परिभाषित करने की अन्य विधियाँ हैं?

अन्य विकर्ण की लंबाई कितनी है?

दोनों विकर्णों का प्रतिच्छेद बिंदु कहाँ है?

विकर्णों के मध्य क्या कोण होना चाहिए?

पूर्व परिभाषा में हमने कहा था कि (i) सम्मुख भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। (ii) सभी कोण $90^{\circ}$ के होते हैं। क्या हमारा कथन त्रुटिपूर्ण होगा यदि हम आयत को एक ऐसे चतुर्भुज के रूप में परिभाषित करें जिसमें प्रत्येक कोण का माप $90^{\circ}$ हो।

आपके विचार से यदि यह परिभाषा पूर्ण नहीं हो तब एक ऐसे चतुर्भुज की रचना करने का प्रयास कीजिए जिसमें प्रत्येक कोण का माप $90^{\circ}$ हो परंतु सम्मुख भुजाएँ एक समान न हों। क्या आप ऐसा चतुर्भुज बना सकते हैं?

क्या $\Delta BAD \cong \Delta CDB$ लिखना त्रुटिपूर्ण होगा? यदि हाँ, तो ऐसा क्यों?

क्या आयत की सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं?

क्या आप इसी प्रकार यह दर्शा सकते हैं कि $AB, DC$ के समांतर है ($AB \parallel DC$)?

आइए, हम पुनः बढ़ई की समस्या पर विचार करें। यदि लकड़ी की पट्टिकाओं को इस प्रकार रखा जाए कि अंत बिंदुओं से होकर जाने वाला धागा एक वर्ग बनाता हो तो ऐसा करने के लिए हमें क्या करना होगा?

भुजाओं की समान लंबाई प्राप्त करने के लिए हमें और अधिक किसकी आवश्यकता है? क्या विकर्णों के मध्य के कोण को सही प्रकार से चयनित करके यह प्राप्त किया जा सकता है? ध्यान दीजिए क्या आप तर्क अथवा प्रयोग द्वारा इसे ज्ञात कर सकते हैं?

इस तथ्य का उपयोग करते हुए 8 सेंटीमीटर लंबाई के एक विकर्ण के साथ वर्ग की रचना कीजिए।

निगमन 1 — अन्य विकर्ण की लंबाई क्या है?

निगमन 2 — दोनों विकर्णों का प्रतिच्छेद बिंदु क्या है?

निगमन 1 और निगमन 2 के ज्यामितीय तर्क द्वारा यह सत्यापित कीजिए कि क्या उपर्युक्त तथ्य सत्य हैं? इसके साथ यह भी देखिए कि क्या वे वर्ग में भी प्रयुक्त किए जा सकते हैं?

एक ऐसा चतुर्भुज बनाइए जिसके प्रत्येक विकर्ण की लंबाई 8 सेंटीमीटर हो एवं वे एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हों और निम्नलिखित कोण बनाते हों। (i) $30^{\circ}$ (ii) $40^{\circ}$ (iii) $90^{\circ}$ (iv) $140^{\circ}$

माना O केंद्र का कोई वृत्त है। जहाँ पर रेखाखंड PL और AM वृत्त के दो व्यास हैं, यह परस्पर लंबवत हैं। बताइए कि APML किस प्रकार की आकृति है? कारण और/अथवा प्रयोग द्वारा इसे ज्ञात कीजिए।

हमने देखा कि कागज को मोड़कर $90^{\circ}$ का कोण कैसे बनाया जाता है। हम मान लेते हैं कि हमारे पास कागज नहीं है परंतु समान लंबाई की दो छड़ियाँ और एक धागा है। इनसे हम $90^{\circ}$ का कोण किस प्रकार बनाएँगे?

क्या ऐसे चतुर्भुज की रचना करना संभव है जिसके तीन कोण $90^{\circ}$ के समान हों एवं चौथा कोण $90^{\circ}$ के समान न हो?

क्या ऐसे चतुर्भुज हैं जिनमें सम्मुख भुजाएँ समांतर हैं परंतु वह आयत नहीं हैं?

मापक और सेट-स्क्वेयर अथवा परकार (कम्पास) तथा मापक का उपयोग करके समांतर रेखाओं की रचना कैसे की जाती है? पूर्व तथ्यों को स्मरण करते हुए ऐसी एक आकृति की रचना कीजिए।

क्या एक आयत एक समांतर चतुर्भुज है?