संभावनाओं का गणित - प्रायिकता का परिचय

निम्नलिखित घटनाओं को एक पैमाने पर 0 (असंभव) से लेकर 1 (निश्चित) तक क्रमबद्ध कीजिए। प्रत्येक घटना को असंभव, कम संभव, समप्रायिक, अधिक संभव और निश्चित में वर्गीकृत कीजिए। कारण बताइए कि आपने प्रत्येक घटना को इस वर्ग में क्यों रखा है। (i) आगामी सोमवार रविवार के पश्चात आएगा। (ii) मुंबई में जुलाई महीने में वर्षाबारी होगी। (iii) आज आपकी कक्षा से एक हाथी गुजरेगा। (iv) कल आप अपने विद्यालय में कम-से-कम एक मित्र का अभिवादन करेंगे।

एक शिक्षक विभिन्न रंगों की मिठाइयों के एक बड़े थैले को आपस में मिलाती है और उसमें से यादृच्छिक रूप से 30 मिठाइयों के एक प्रतिदर्श का चयन करती है। वह प्रत्येक रंग की मिठाइयों की गिनती करती है, जिनकी संख्या इस प्रकार है— 10 लाल मिठाइयाँ, 8 हरी मिठाइयाँ, 7 पीली मिठाइयाँ, 5 नीली मिठाइयाँ (i) प्रतिदर्श से यादृच्छिक रूप से हरी मिठाई निकालने की प्रायिकता की गणना कीजिए। (ii) यदि बड़े थैले में कुल 600 मिठाइयाँ हैं तो प्रतिदर्श के परिणामों के आधार पर आकलन कीजिए कि कितनी मिठाइयों के पीले रंग के होने की संभावना है?

एक विद्यालय में सर्वेक्षण कराया गया, जहाँ 40 विद्यार्थियों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श से उनका प्रिय क्लब पूछा गया। प्रतिक्रियाएँ इस प्रकार हैं— 14 विद्यार्थी — विज्ञान क्लब, 11 विद्यार्थी — कला क्लब, 9 विद्यार्थी — खेल क्लब, 6 विद्यार्थी — वाद-विवाद क्लब। मान लीजिए कि पूरे विद्यालय में 800 विद्यार्थी हैं। (i) प्रतिदर्श से यादृच्छिक चयनित विद्यार्थी की प्राथमिकता कला क्लब के होने की प्रायिकता क्या है? (ii) प्रतिदर्श के परिणामों का उपयोग करके आकलन कीजिए कि पूरे विद्यालय में कितने विद्यार्थी खेल क्लब को प्राथमिकता देंगे।

एक सिक्के को 20 बार उछालिए और प्रत्येक बार परिणाम को अंकित कीजिए (चित अथवा पट)। (i) आपने कितनी बार चित प्राप्त किया? (ii) आपने कितनी बार पट प्राप्त किया? (iii) चित प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता की गणना कीजिए। (iv) यदि आप सिक्के को एक और बार उछालते हैं तब चित प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

एक निष्पक्ष षट्फलकीय पासे को फेंकने पर एक सम संख्या को प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए, आप एक षट्फलकीय पासे को 12 बार फेंकते हैं और तीन बार अंक '3' प्राप्त करते हैं। (i) पासे पर '3' आने की प्रायोगिक प्रायिकता क्या है? (ii) पासे पर '3' आने की सैद्धांतिक प्रायिकता क्या है? (iii) इन प्रायिकताओं में भिन्नता क्यों हो सकती है? यदि आप पासे को 60, 600 या 6000 बार फेंकें तो क्या प्राप्त होने की अपेक्षा करेंगे?

जब एक षट्फलकीय पासा फेंका जाता है तो प्रतिदर्श समष्टि में संभावित परिणामों की कुल संख्या कितनी होगी?

निम्नलिखित प्रयोगों के लिए प्रतिदर्श समष्टि S लिखिए — (i) एक साथ एक पासा फेंकना और एक सिक्का उछालना। (ii) $-5$ और $+5$ के मध्य एक पूर्णांक का यादृच्छिक चयन करना। (iii) एक बक्से में 5 हरी और 7 लाल गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली गई।

एक ग्रामीण मेले में 3 लोकप्रिय नाश्ते उपलब्ध हैं— समोसा, पकौड़ा और भाजी। पेय पदार्थों में ग्रामीण व्यक्ति चाय या लस्सी का चयन कर सकते हैं। (i) नाश्ते और पेय के सभी संभव संयोजन जो एक व्यक्ति मेले में चयनित कर सकता है, के प्रतिदर्श समष्टि सूचीबद्ध कीजिए। (ii) 'समोसे को नाश्ते के रूप में चयनित करने' की घटना को सूचीबद्ध कीजिए।

A और B फलों की दो टोकरियाँ हैं। टोकरी A में एक सेब और दो संतरे हैं। टोकरी B में एक केला और एक आम है। आप यादृच्छिक रूप से प्रत्येक टोकरी से एक फल निकालते हैं— (i) फलों के सभी संभावित युग्मों को दर्शाता हुआ एक वृक्ष आरेख खींचिए। (ii) प्रतिदर्श समष्टि को सूचीबद्ध कीजिए। (iii) एक सेब और एक केला निकालने की प्रायिकता क्या होगी?

मान लीजिए, आपके पास एक बक्सा है जिसमें 3 लाल पेन, 4 काले पेन और 2 हरे पेन हैं। आपने बक्से में बिना देखे एक पेन निकाला और वापस उसी में रख दिया। अब आपका मित्र भी इसी कार्य को दोहराता है। (i) पेन के रंगों के संभावित परिणाम क्या हैं? क्या आप संभावित परिणामों को दर्शाता हुआ एक वृक्ष आरेख खींच सकते हैं? (ii) क्या आप वृक्ष आरेख का उपयोग कर अनुमान लगा सकते हैं कि आप और आपके मित्र द्वारा एक ही रंग के पेन निकालने की प्रायिकता क्या होगी?

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए— (i) असंभव घटना की प्रायिकता _______ है। (ii) एक यादृच्छिक प्रयोग के सभी संभव परिणामों के समुच्चय को _______ कहा जाता है। (iii) एक निश्चित ही घटित होने वाली घटना की प्रायिकता ______ है। (iv) निष्पक्ष सिक्का उछालने पर चित आने की प्रायिकता ______ है।

50 विद्यार्थियों के एक सर्वेक्षण में 15 विद्यार्थियों ने कहा कि उन्हें फुटबॉल पसंद है। फुटबॉल पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या 15 है और ______ (आवृत्ति/सापेक्षिक आवृत्ति) ______ है (भिन्न अथवा दशमलव में पूर्ति कीजिए)।

निम्नलिखित में किस प्रयोग के समप्रायिक परिणाम हैं? व्याख्या कीजिए। (i) एक चालक कार को चालू करने का प्रयास कर रहा है। कार चालू होती है या नहीं होती है। (ii) निष्पक्ष सिक्का एक बार उछालना। (iii) निष्पक्ष षट्फलकीय पासा फेंकना। (iv) एक थैली से यादृच्छिक रूप से एक कंचा निकालना, जिसमें 3 लाल कंचे और 7 नीले कंचे हों। (v) एक बच्चे का जन्म हुआ है। यह एक लड़का है या लड़की है।

दी गई सूचनाओं के आधार पर प्रतिदर्श समष्टि लिखिए और प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (i) एक ही समय पर दो सिक्कों को उछाला जाता है। कम-से-कम एक चित आने की प्रायिकता क्या है? (ii) 10 सर्वसम पत्ते 1 से 10 तक संख्यांकित करके एक बक्से में रखे गए हैं। एक पत्ता यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। एक सम संख्या वाले पत्ते के आने की प्रायिकता क्या है? (iii) एक पासा एक बार फेंका जाता है। 4 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता क्या है? (iv) एक थैले में 3 लाल गेंदें, 2 नीली गेंदें और 1 हरी गेंद हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गेंद लाल नहीं होगी? (v) तीन सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है। ठीक दो चित आने की प्रायिकता क्या है?

एक थैली में 3 टॉफियाँ हैं— स्ट्रॉबेरी, नींबू और पुदीना। एक टॉफी यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। स्ट्रॉबेरी टॉफी निकालने की प्रायिकता क्या है?

एक बच्चे के पास 2 कमीजें (एक लाल और एक नीला) और 3 प्रकार की पतलूनें (जींस, खाकी और शॉर्ट्स) हैं। एक कमीज और एक पतलून मिलकर बनने वाली पोशाक के सभी संभव संयोजनों को सूचीबद्ध कीजिए। अपने उत्तर को सारणी रूप में प्रस्तुत कीजिए।

एक टायर कंपनी 1000 मामलों में प्रतिस्थापन (रिप्लेसमेंट) से पूर्व दूरियों को अभिलेखित करती है— | दूरी (किलोमीटर में) | 4000 से कम | 4001 से 9000 | 9001 से 14000 | 14000 से अधिक | | मामलों की संख्या | 20 | 210 | 325 | 445 | यादृच्छिक चयनित टायर की आयु की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, जब दूरी— (i) 4000 किलोमीटर से कम हो। (ii) 4000 से 14000 किलोमीटर के मध्य हो। (iii) 14000 किलोमीटर से अधिक हो।

'PEACE' शब्द के अक्षरों को पत्तों पर लिखा गया है। लीला बिना देखे एक पत्ता निकालती है— (i) इसके P, E या C होने की प्रायिकता क्या है? (ii) इसके E न होने की प्रायिकता क्या है?

एक टोकरी में 4 लाल और 5 नीले रंग की गेंदें हैं। एक गेंद निकाली जाती है और अलग रख दी जाती है, इसके पश्चात् दूसरी गेंद निकाली जाती है। संभावित परिणामों और प्रायिकता को दर्शाने के लिए एक वृक्ष आरेख खींचिए। वृक्ष आरेख का उपयोग करके निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए— (i) एक लाल और उसके पश्चात् एक नीले रंग की गेंद को निकालने की प्रायिकता क्या है? (ii) 2 नीली गेंदें निकालने की प्रायिकता क्या है?