दिया गया है: तीन परिमेय संख्याएँ $x, y, z$ इस प्रकार हैं कि $x + y + z = 0$ और $xy + yz + zx = 0$।

हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)$ होती है।

प्रश्न में दी गई शर्तों को इस सर्वसमिका में रखने पर:

$$(0)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(0)$$ $$0 = x^2 + y^2 + z^2$$

अतः, $x^2 + y^2 + z^2 = 0$ प्राप्त होता है।

चूँकि $x, y, z$ परिमेय संख्याएँ हैं, इसलिए इनके वर्ग $x^2, y^2, z^2$ सदैव ऋणेतर (non-negative) होंगे, अर्थात $x^2 \ge 0$, $y^2 \ge 0$ और $z^2 \ge 0$। ऋणेतर संख्याओं का योग तभी शून्य हो सकता है जब प्रत्येक संख्या स्वयं शून्य हो।

इसलिए, $x^2 = 0$, $y^2 = 0$ और $z^2 = 0$ होगा, जिसका अर्थ है कि $x = 0$, $y = 0$ और $z = 0$। अतः सभी परिमेय संख्याएँ $x, y, z$ एक साथ आवश्यक रूप से शून्य ही होंगी।