मान लीजिए $a$ और $b$ दो परिमेय संख्याएँ हैं और संख्या रेखा पर $a < b$ है। हमें यह प्रदर्शित करना है कि इनका माध्य $\frac{a+b}{2}$ इनके मध्य स्थित एक परिमेय संख्या है।

पहले हम दिखाते हैं कि $\frac{a+b}{2} > a$ है। $\frac{a+b}{2} - a = \frac{a+b - 2a}{2} = \frac{b-a}{2}$। चूंकि $a < b$ है, इसलिए $b - a > 0$ होगा, जिसका अर्थ है कि $\frac{b-a}{2}$ एक धनात्मक संख्या है। अतः $\frac{a+b}{2} > a$ है।

अब हम दिखाते हैं कि $\frac{a+b}{2} < b$ है। $b - \frac{a+b}{2} = \frac{2b - (a+b)}{2} = \frac{b-a}{2}$। पुनः, $a < b$ होने के कारण $\frac{b-a}{2} > 0$ है। अतः $b > \frac{a+b}{2}$ है।

उपरोक्त दोनों परिणामों से स्पष्ट है कि $a < \frac{a+b}{2} < b$ है। इसका अर्थ यह है कि संख्या $\frac{a+b}{2}$ संख्या रेखा पर $a$ और $b$ के मध्य स्थित है।

इसके अतिरिक्त, योग और विभाजन के अंकगणितीय नियमों के अनुसार, दो परिमेय संख्याओं का योग और उसे 2 से भाग देने पर प्राप्त संख्या भी एक परिमेय संख्या ही होती है। अतः $\frac{a+b}{2}$ सदैव $a$ और $b$ के मध्य स्थित एक परिमेय संख्या होती है।