मान लीजिए कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है। तब इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।

अतः, $\sqrt{5} = \frac{p}{q}$ (सरलतम रूप में)

दोनों ओर वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$5 = \frac{p^2}{q^2}$$ $$p^2 = 5q^2$$

चूँकि $5$, $p^2$ को विभाजित करता है, अतः $5$, $p$ को भी विभाजित करेगा। इसलिए हम $p = 5k$ ले सकते हैं, जहाँ $k$ कोई पूर्णांक है।

अब $p = 5k$ को समीकरण $p^2 = 5q^2$ में रखने पर:

$$(5k)^2 = 5q^2$$ $$25k^2 = 5q^2$$ $$5k^2 = q^2$$

इसका अर्थ है कि $5$, $q^2$ को विभाजित करता है, और इसलिए $5$, $q$ को भी विभाजित करता है।

अब हम देखते हैं कि $5$, $p$ और $q$ दोनों को विभाजित करता है। लेकिन यह हमारी इस मान्यता के विरुद्ध है कि $p$ और $q$ सह-अभाज्य हैं। यह एक विरोधाभास की स्थिति है!

इसलिए, हमारी प्रारंभिक मान्यता गलत है। अतः $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।