Question 34 of 39advanced🔍 AnalyzeLong Answer5 marks

एक परिमेय संख्या का सांत दशमलव प्रसार है व जिसका अंतिम शून्येतर अंक चौथे दशमलव स्थान पर है। प्रदर्शित कीजिए कि ऐसी संख्या को p104\frac{p}{10^4} के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ pp एक पूर्णांक है जो 10 से अविभाज्य है। क्या यह आवश्यक है कि इस परिमेय संख्या का हर जब अपने सरलतम रूप में लिखा जाता है तो वह 242^4 या 545^4 से विभाज्य हो? कारण बताइए।

Correct Answer

(i) मान लीजिए कि संख्या 0.abcd0.abcd के रूप की है, जहाँ d≠0d \neq 0 है। इसे abcd10000=p104\frac{abcd}{10000} = \frac{p}{10^4} के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p=abcdp = abcd एक पूर्णांक है। चूँकि अंतिम अंक dd शून्येतर है, इसलिए pp 10 से अविभाज्य होगा।

(ii) नहीं, यह आवश्यक नहीं है कि सरलतम रूप का हर 242^4 या 545^4 से विभाज्य हो।

Exercise: अंतिम प्रश्नावली | Q: 10 | (Page 65)
For More Understanding

Explanation

प्रश्न में दी गई परिमेय संख्या का सांत दशमलव प्रसार है और अंतिम शून्येतर अंक चौथे स्थान पर है, जिसे p104\frac{p}{10^4} के रूप में दर्शाया जा सकता है। चूँकि 104=24×5410^4 = 2^4 \times 5^4 है, सरलतम रूप में हर 2m×5n2^m \times 5^n के रूप का होगा जहाँ m≤4m \le 4 और n≤4n \le 4 है। यह आवश्यक नहीं कि दोनों घात 4 हों।

Solution Steps

  1. चरण 1: मान लीजिए परिमेय संख्या 0.abcd0.abcd है, जहाँ d≠0d \neq 0 है। इसे abcd10000\frac{abcd}{10000} के रूप में लिखा जा सकता है।

  2. चरण 2: चूँकि 10000=10410000 = 10^4 है, संख्या p104\frac{p}{10^4} के रूप में है, जहाँ p=abcdp = abcd है। चूँकि d≠0d \neq 0, pp 10 से अविभाज्य है।

  3. चरण 3: सरलतम रूप ab\frac{a}{b} में, bb एक ऐसा गुणनखंड होगा जिसके अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों, अर्थात b=2m×5nb = 2^m \times 5^n जहाँ m≤4m \le 4 और n≤4n \le 4 है।

  4. चरण 4: यह आवश्यक नहीं है कि m=4m = 4 या n=4n = 4 हो। उदाहरण के लिए, 80104=1125=153\frac{80}{10^4} = \frac{1}{125} = \frac{1}{5^3}, यहाँ हर न तो 242^4 से और न ही 545^4 से विभाज्य है।

PreviousNext