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एक समबाहु त्रिभुज rr त्रिज्या वाले एक वृत्त में अंतर्निहित है। दर्शाइए कि त्रिभुज के क्षेत्रफल और वृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात 334π≈0.413\frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \approx 0.413 के समान है।

Correct Answer

त्रिभुज के क्षेत्रफल और वृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात 334π≈0.413\frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \approx 0.413 है।

Exercise: प्रश्नावली 6.3 | Q: 8 | (Page 31)
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Explanation

इस प्रश्न में हमें एक समबाहु त्रिभुज और उसके परिवृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात करना है। समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए 34a2\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 का उपयोग किया जाता है, जहाँ aa त्रिभुज की भुजा है। चूँकि त्रिभुज rr त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित है, इसलिए त्रिभुज की भुजा a=r3a = r\sqrt{3} होगी। इस मान को क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर त्रिभुज का क्षेत्रफल 334r2\frac{3\sqrt{3}}{4}r^2 प्राप्त होता है। वृत्त का क्षेत्रफल πr2\pi r^2 है। दोनों का अनुपात निकालने पर 334π\frac{3\sqrt{3}}{4\pi} प्राप्त होता है।

Solution Steps

  1. चरण 1: मान लीजिए कि rr त्रिज्या वाले एक वृत्त में एक समबाहु त्रिभुज अंतर्निहित है। यदि समबाहु त्रिभुज की भुजा aa है, तो अंतर्निहित समबाहु त्रिभुज के लिए a=r3a = r\sqrt{3} होता है।

  2. चरण 2: समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र A=34a2A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 है। a=r3a = r\sqrt{3} रखने पर, त्रिभुज का क्षेत्रफल =34(r3)2=34×3r2=334r2= \frac{\sqrt{3}}{4}(r\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3r^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}r^2 होगा।

  3. चरण 3: वृत्त का क्षेत्रफल πr2\pi r^2 होता है।

  4. चरण 4: त्रिभुज के क्षेत्रफल और वृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात =334r2πr2=334π= \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}r^2}{\pi r^2} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} होगा।

  5. चरण 5: इस प्रकार, अनुपात 334π≈0.413\frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \approx 0.413 के समान है, जो कि दर्शाना था।

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