मान लीजिए कि $r$ त्रिज्या वाले एक वृत्त में एक वर्ग अंतर्निहित है। मान लीजिए कि इस वर्ग की भुजा $a$ है। चूँकि वर्ग वृत्त के भीतर अंतर्निहित है, इसलिए वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के ठीक बराबर होगा।

वृत्त का व्यास हमेशा उसकी त्रिज्या का दोगुना होता है, अर्थात $2r$। अतः, वर्ग का विकर्ण $2r$ है। वर्ग के विकर्ण के गुण के अनुसार, हम जानते हैं कि $a^2 + a^2 = (\text{विकर्ण})^2$ होता है। इसलिए, $2a^2 = (2r)^2 = 4r^2$ होगा।

इस समीकरण को हल करने पर, हमें $a^2 = 2r^2$ प्राप्त होता है। चूँकि वर्ग का क्षेत्रफल $A = a^2$ होता है, इसलिए अंतर्निहित वर्ग का क्षेत्रफल $2r^2$ होगा।

दिए गए संदर्भ के अनुसार, वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2$ होता है। अब, वर्ग के क्षेत्रफल और वृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात निकालने पर हमें $\frac{2r^2}{\pi r^2}$ प्राप्त होता है।

अंश और हर से $r^2$ का घटाने पर, यह अनुपात $\frac{2}{\pi}$ के समान हो जाता है। चूँकि $\pi$ का अनुमानित मान $\frac{22}{7}$ अथवा $3.14$ के समान होता है, इसलिए $\frac{2}{\pi} \approx 0.637$ होगा। अतः, वर्ग और वृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{2}{\pi} \approx 0.637$ है।