Question 33 of 41intermediate🔧 ApplyNumerical4 marks

एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 2:3:4 है और इसका परिमाप 45 सेंटीमीटर है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Correct Answer

त्रिभुज का क्षेत्रफल 75154\frac{75\sqrt{15}}{4} वर्ग सेंटीमीटर (या 18.751518.75\sqrt{15} वर्ग सेंटीमीटर) है।

Exercise: अंतिम प्रश्नावली | Q: 5 | (Page 32)
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Explanation

इस प्रश्न को हल करने के लिए सर्वप्रथम भुजाओं के अनुपात और परिमाप की सहायता से त्रिभुज की वास्तविक भुजाओं की लंबाई ज्ञात की जाती है। तत्पश्चात, तीनों भुजाओं की लंबाई ज्ञात होने पर त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हीरोन के सूत्र का उपयोग किया जाता है।

Solution Steps

  1. चरण 1: त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात करना माना त्रिभुज की भुजाएँ 2x2x, 3x3x और 4x4x हैं। परिमाप =2x+3x+4x=9x= 2x + 3x + 4x = 9x दिया गया है, परिमाप =45= 45 cm अतः 9x=45  ⟹  x=59x = 45 \implies x = 5 इसलिए, त्रिभुज की भुजाएँ a=10a = 10 cm, b=15b = 15 cm और c=20c = 20 cm हैं।

  2. चरण 2: त्रिभुज का अर्धपरिमाप (s) ज्ञात करना अर्धपरिमाप s=a+b+c2=10+15+202=452=22.5s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{10 + 15 + 20}{2} = \frac{45}{2} = 22.5 cm

  3. चरण 3: हीरोन के सूत्र द्वारा क्षेत्रफल ज्ञात करना क्षेत्रफल =s(s−a)(s−b)(s−c)= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

    =22.5×(22.5−10)×(22.5−15)×(22.5−20)= \sqrt{22.5 \times (22.5 - 10) \times (22.5 - 15) \times (22.5 - 20)} =22.5×12.5×7.5×2.5= \sqrt{22.5 \times 12.5 \times 7.5 \times 2.5}

  4. चरण 4: मान को सरल करना

    =452×252×152×52= \sqrt{\frac{45}{2} \times \frac{25}{2} \times \frac{15}{2} \times \frac{5}{2}} =1445×25×15×5= \frac{1}{4} \sqrt{45 \times 25 \times 15 \times 5} =149×5×25×3×5×5= \frac{1}{4} \sqrt{9 \times 5 \times 25 \times 3 \times 5 \times 5} =1432×52×52×15= \frac{1}{4} \sqrt{3^2 \times 5^2 \times 5^2 \times 15} =14×3×5×515= \frac{1}{4} \times 3 \times 5 \times 5 \sqrt{15}

    =75154= \frac{75\sqrt{15}}{4} वर्ग cm

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