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जब वृत्त की दो जीवाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं तो प्रत्येक जीवा दो रेखाखंडों में विभक्त हो जाती है। प्रदर्शित कीजिए कि यदि दोनों जीवाओं की लंबाई समान हो, तो पहली जीवा के रेखाखंड दूसरी जीवा के संगत रेखाखंडों के समान होंगे।

Correct Answer

दिया है: केंद्र O वाले एक वृत्त में दो जीवाएँ AB और CD एक-दूसरे को बिंदु E पर प्रतिच्छेद करती हैं, जहाँ AB = CD है।

सिद्ध करना है: AE = CE और BE = DE (अर्थात पहली जीवा के रेखाखंड दूसरी जीवा के संगत रेखाखंडों के समान होंगे)।

रचना: केंद्र O से जीवा AB पर लंब OM और जीवा CD पर लंब ON खींचिए, जहाँ M और N क्रमशः AB और CD के मध्यबिंदु हैं।

प्रमाण: चूँकि AB = CD दिया गया है, अतः समान जीवाएँ केंद्र से समदूरस्थ होती हैं, इसलिए OM = ON।

केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, इसलिए AM = MB = AB2\frac{AB}{2} और CN = ND = CD2\frac{CD}{2}। चूँकि AB = CD, अतः AM = MB = CN = ND।

अब समकोण त्रिभुज OME और ONE पर विचार कीजिए। इनमें OM = ON (ऊपर सिद्ध किया), OE = OE (उभयनिष्ठ), और ∠\angleOME = ∠\angleONE = 90∘90^{\circ}। अतः RHS सर्वांगसमता नियम से △\triangleOME ≅\cong △\triangleONE, जिससे ME = NE (CPCT)।

अब AE = AM ±\pm ME और CE = CN ±\pm NE। चूँकि AM = CN और ME = NE, अतः AE = CE। इसी प्रकार BE = MB ±\pm ME और DE = ND ±\pm NE, जिससे BE = DE।

अतः पहली जीवा के रेखाखंड दूसरी जीवा के संगत रेखाखंडों के समान होंगे। इति सिद्धम्।

Exercise: अंतिम प्रश्नावली | Q: 12 | (Page 115)
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Explanation

यह प्रश्न वृत्त की जीवाओं के दो मुख्य गुणों पर आधारित है: (1) समान जीवाएँ केंद्र से समदूरस्थ होती हैं, और (2) केंद्र से जीवा पर लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। इन दो गुणों का उपयोग करके हम दिखाते हैं कि केंद्र से दोनों जीवाओं तक की लंब दूरी समान है, फिर RHS सर्वांगसमता से प्रतिच्छेदन बिंदु से मध्यबिंदुओं तक की दूरी समान है, और अंत में रेखाखंडों की समानता सिद्ध होती है।

Solution Steps

  1. चरण 1: मान लीजिए दो जीवाएँ AB और CD बिंदु E पर प्रतिच्छेद करती हैं, जहाँ AB = CD दिया है।

  2. चरण 2: केंद्र O से AB पर लंब OM और CD पर लंब ON खींचिए। चूँकि AB = CD, अतः OM = ON (समान जीवाएँ केंद्र से समदूरस्थ)।

  3. चरण 3: OM और ON केंद्र से लंब हैं, अतः M और N क्रमशः AB और CD के मध्यबिंदु हैं। इसलिए AM = MB और CN = ND, और AB = CD होने से AM = MB = CN = ND।

  4. चरण 4: समकोण त्रिभुज OME और ONE में OM = ON, OE = OE, ∠\angleOME = ∠\angleONE = 90∘90^{\circ}। अतः RHS नियम से △\triangleOME ≅\cong △\triangleONE, जिससे ME = NE।

  5. चरण 5: चूँकि AM = CN और ME = NE, अतः AE = CE और BE = DE। अतः संगत रेखाखंड समान हैं। इति सिद्धम्।

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