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किसी वृत्त में, यदि किसी जीवा AB की केंद्र से दूरी अन्य जीवा CD की केंद्र से दूरी की दोगुनी है तो क्या हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि CD=2ABCD = 2AB है? कारण सहित उत्तर दीजिए।

Correct Answer

नहीं, हम यह निष्कर्ष नहीं निकाल सकते हैं कि CD=2ABCD = 2AB है।

Exercise: प्रश्नावली 5.5 | Q: 3 | (Page 106)
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Explanation

प्रमेय 8 के अनुसार, यदि कोई जीवा केंद्र के समीप होती है तो वह उतनी ही बड़ी होती है। यदि जीवा AB की केंद्र से दूरी जीवा CD की दूरी की दोगुनी है, तो AB, CD से छोटी अवश्य होगी, परंतु इनकी लंबाइयों में यह सरल अनुपात (CD = 2AB) स्थापित नहीं होता है।

Solution Steps

  1. मान लीजिए वृत्त का केंद्र CC है और त्रिज्या RR है। जीवा CDCD की केंद्र से दूरी xx है, तो जीवा ABAB की दूरी 2x2x होगी।

  2. बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, जीवा CDCD का आधा भाग GD=R2−x2GD = \sqrt{R^2 - x^2} होगा, अतः CD=2R2−x2CD = 2\sqrt{R^2 - x^2} है।

  3. इसी प्रकार, जीवा ABAB का आधा भाग AF=R2−(2x)2=R2−4x2AF = \sqrt{R^2 - (2x)^2} = \sqrt{R^2 - 4x^2} होगा, अतः AB=2R2−4x2AB = 2\sqrt{R^2 - 4x^2} है।

  4. स्पष्ट है कि 2R2−x22\sqrt{R^2 - x^2} और 2×2R2−4x22 \times 2\sqrt{R^2 - 4x^2} दोनों समान नहीं हैं। अतः दूरी दोगुनी होने पर जीवा की लंबाई आधी नहीं होती, यानी CD=2ABCD = 2AB आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

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