चरण 1: मान लीजिए चक्रीय चतुर्भुज ABCD है, जिसमें $AB = 5$, $BC = 5$, $CD = 12$ और $DA = 12$ हैं। चक्रीय चतुर्भुज के गुण के अनुसार, सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। अतः $\angle B + \angle D = 180^{\circ} \implies \angle D = 180^{\circ} - \angle B$।

चरण 2: विकर्ण AC खींचने पर चतुर्भुज $\Delta ABC$ और $\Delta ADC$ में विभाजित हो जाता है। $\Delta ABC$ में कोण-नियम (cosine rule) लगाने पर: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B = 5^2 + 5^2 - 2(5)(5)\cos B = 50 - 50\cos B$।

चरण 3: $\Delta ADC$ में कोण-नियम लगाने पर: $AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos D = 12^2 + 12^2 - 2(12)(12)\cos D = 288 - 288\cos D$। चूँकि $\angle D = 180^{\circ} - \angle B$, अतः $\cos D = -\cos B$। दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $50 - 50\cos B = 288 + 288\cos B \implies 338\cos B = -238 \implies \cos B = -\frac{119}{169}$।

चरण 4: अब, $\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \left(-\frac{119}{169}\right)^2} = \sqrt{\frac{14400}{28561}} = \frac{120}{169}$। चूँकि $\angle D = 180^{\circ} - \angle B$, अतः $\sin D = \sin B = \frac{120}{169}$।

चरण 5: चतुर्भुज का क्षेत्रफल = $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल + $\Delta ADC$ का क्षेत्रफल। $= \frac{1}{2}(5)(5)\sin B + \frac{1}{2}(12)(12)\sin D = \frac{1500}{169} + \frac{8640}{169} = \frac{10140}{169} = 60$ वर्ग इकाई।