Question 24 of 37advanced🔍 AnalyzeEssay3 marks

हमें ज्ञात है कि x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) है। इसके अतिरिक्त हमने यह सत्यापित किया है कि x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) है। अवलोकन कीजिए कि x−yx - y, x2−y2x^2 - y^2 और x3−y3x^3 - y^3 का सार्व गुणनखंड है। क्या आपके विचार में x−yx - y, x4−y4x^4 - y^4 का भी गुणनखंड है? ध्यान दीजिए कि x4−y4=(x2)2−(y2)2=(x2−y2)(x2+y2)x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2) (x^2 + y^2) है। क्या आप देख सकते हैं कि x−yx - y, x4−y4x^4 - y^4 का एक गुणनखंड किस प्रकार है? x5−y5x^5 - y^5 के विषय में आपका क्या विचार है? क्या इसमें भी x−yx - y एक गुणनखंड के रूप में है?

Correct Answer

हाँ, x−yx - y, x4−y4x^4 - y^4 का एक गुणनखंड है। हम जानते हैं कि x4−y4=(x2−y2)(x2+y2)x^4 - y^4 = (x^2 - y^2) (x^2 + y^2) है। चूंकि x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) है, इसलिए हम इस मान को x4−y4x^4 - y^4 में रख सकते हैं। इस प्रकार, x4−y4=(x−y)(x+y)(x2+y2)x^4 - y^4 = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2) होगा। यह स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि x−yx - y, x4−y4x^4 - y^4 का एक गुणनखंड है।

x5−y5x^5 - y^5 के विषय में, हम अवलोकन कर सकते हैं कि x−yx - y, x2−y2x^2 - y^2, x3−y3x^3 - y^3 और x4−y4x^4 - y^4 सभी का सार्व गुणनखंड है। इसी प्रवृत्ति के आधार पर, हम कह सकते हैं कि x−yx - y, x5−y5x^5 - y^5 का भी एक गुणनखंड होगा।

Exercise: सोचिए और विचार कीजिए | Q: 1 | (Page 85)
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Explanation

प्रश्न में दी गई सर्वसमिकाओं के अनुसार, x4−y4x^4 - y^4 को (x2−y2)(x2+y2)(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) के रूप में विभाजित किया जा सकता है, और चूंकि x2−y2x^2 - y^2 में x−yx - y पहले से एक गुणनखंड है, इसलिए x−yx - y स्वतः ही x4−y4x^4 - y^4 का गुणनखंड बन जाता है। इसी तर्क और अवलोकन के आधार पर, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि x−yx - y सभी xn−ynx^n - y^n व्यंजकों का सार्व गुणनखंड होगा, जिसमें x5−y5x^5 - y^5 भी शामिल है।

Solution Steps

  1. चरण 1: x4−y4x^4 - y^4 को (x2)2−(y2)2(x^2)^2 - (y^2)^2 के रूप में लिखें, जो (x2−y2)(x2+y2)(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) के बराबर है।

  2. चरण 2: x2−y2x^2 - y^2 के स्थान पर (x−y)(x+y)(x - y)(x + y) रखें, जिससे x4−y4=(x−y)(x+y)(x2+y2)x^4 - y^4 = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2) प्राप्त होता है।

  3. चरण 3: यह दर्शाता है कि x−yx - y, x4−y4x^4 - y^4 का गुणनखंड है।

  4. चरण 4: पिछले अवलोकनों के आधार पर, निष्कर्ष निकालें कि x−yx - y, x5−y5x^5 - y^5 का भी गुणनखंड होगा।