हम जानते हैं कि यदि $x - 2$ और $x - \frac{1}{2}$ बहुपद $px^2 + 5x + r$ के गुणनखंड हैं, तो इसे गुणनखंडों के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$px^2 + 5x + r = p(x - 2)\left(x - \frac{1}{2}\right)$$

दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर हमें प्राप्त होता है:

$$p\left(x^2 - \frac{1}{2}x - 2x + 1\right) = p\left(x^2 - \frac{5}{2}x + 1\right) = px^2 - \frac{5p}{2}x + p$$

अब दोनों व्यंजकों $px^2 + 5x + r$ और $px^2 - \frac{5p}{2}x + p$ की तुलना करने पर: $x$ के गुणांकों की तुलना से: $5 = -\frac{5p}{2}$ इससे $p = -2$ प्राप्त होता है।

स्थिर पदों (constant terms) की तुलना से: $r = p$ चूँकि $p = -2$ है, इसलिए $r = -2$ होगा। अतः यह सिद्ध होता है कि $p = r$ है।