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यदि a+b+c=5a + b + c = 5 और ab+bc+ca=10ab + bc + ca = 10 है तो सिद्ध कीजिए कि a3+b3+c3−3abc=−25a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = -25 होगा।

Correct Answer

हम जानते हैं कि (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca है।

दिया गया है: a+b+c=5a + b + c = 5 और ab+bc+ca=10ab + bc + ca = 10 इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:

(5)2=a2+b2+c2+2(10)(5)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(10) 25=a2+b2+c2+2025 = a^2 + b^2 + c^2 + 20 a2+b2+c2=25−20=5a^2 + b^2 + c^2 = 25 - 20 = 5

अब, हम निम्नलिखित सर्वसमिका का उपयोग करते हैं:

a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)

इसमें ज्ञात मानों को रखने पर:

a3+b3+c3−3abc=5×(5−10)a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 5 \times (5 - 10) a3+b3+c3−3abc=5×(−5)a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 5 \times (-5) a3+b3+c3−3abc=−25a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = -25

अतः सिद्ध हुआ कि a3+b3+c3−3abc=−25a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = -25 होगा।

Exercise: अंतिम प्रश्नावली | Q: 11 | (Page 90)
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Explanation

इस प्रश्न को हल करने के लिए पहले (a+b+c)2(a+b+c)^2 की सर्वसमिका का उपयोग करके a2+b2+c2a^2+b^2+c^2 का मान ज्ञात किया जाता है। फिर a3+b3+c3−3abca^3+b^3+c^3-3abc की सर्वसमिका में सभी ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करके अभीष्ट परिणाम प्राप्त किया जाता है।

Solution Steps

  1. चरण 1: दी गई सर्वसमिका (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca में मान रखना।

  2. चरण 2: (5)2=a2+b2+c2+2(10)⇒25=a2+b2+c2+20⇒a2+b2+c2=5(5)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(10) \Rightarrow 25 = a^2 + b^2 + c^2 + 20 \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 = 5

  3. चरण 3: सर्वसमिका a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) का उपयोग करना।

  4. चरण 4: मान रखने पर: a3+b3+c3−3abc=5×(5−10)=5×(−5)=−25a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 5 \times (5 - 10) = 5 \times (-5) = -25।

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