चरण 1: दिए गए बीजीय व्यंजक $n^3 - n$ की जाँच करने के लिए हम इसके गुणनखंड करेंगे। सबसे पहले हम $n$ को सार्व गुणनखंड के रूप में लेते हैं, जिससे व्यंजक $n(n^2 - 1)$ बन जाता है।

चरण 2: अब, हम व्यंजकों के गुणनखंडन के लिए बीजीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं। हम जानते हैं कि सर्वसमिका $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$ सत्य होती है। इसी सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, हम $n^2 - 1$ को $(n - 1)(n + 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।

चरण 3: इस प्रकार, व्यंजक $n^3 - n = n(n - 1)(n + 1)$ प्राप्त होता है। यह व्यंजक तीन क्रमागत प्राकृत संख्याओं $(n-1)$, $n$ और $(n+1)$ के गुणनफल को दर्शाता है।

चरण 4: कारण: किन्हीं भी तीन क्रमागत प्राकृत संख्याओं में से कम से कम एक संख्या सदैव एक सम संख्या होती है, अर्थात वह 2 से विभाज्य होती है। साथ ही, तीन क्रमागत संख्याओं में से ठीक एक संख्या हमेशा 3 की गुणज होती है।

चरण 5: चूँकि गुणनफल में 2 और 3 दोनों के गुणज मौजूद हैं, इसलिए पूरा गुणनफल सदैव $2 \times 3 = 6$ से विभाज्य होगा। अतः, यह सिद्ध होता है कि सभी प्राकृत संख्याओं $n$ के लिए $n^3 - n$ सदैव 6 से विभाज्य है।