n का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए, जिससे प्रथम n प्राकृत संख्याओं का…

Question 44 of 50advanced🔧 ApplyNumerical3 marks

$n$ का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए, जिससे प्रथम $n$ प्राकृत संख्याओं का योगफल 1,000 से अधिक हो।

Correct Answer

Exercise: अंतिम प्रश्नावली | Q: 9 | (Page 195)

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Explanation

प्रकरण 8.5 में प्राप्त सूत्र $S=\tfrac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करते हुए शर्त $S>1000$ पर लागू की गई। इससे $n(n+1)>2000$ प्राप्त हुआ। द्विघात असमानता हल करने पर $n>44.2245$ मिलता है। अतः न्यूनतम पूर्णांक मान $n=45$ ही शर्त पूर्ण करता है।

Solution Steps

चरण 1: प्रथम $n$ प्राकृत संख्याओं का योग $S=\frac{n(n+1)}{2}$ होता है।
चरण 2: शर्त है $S>1000$ ⇒ $\frac{n(n+1)}{2}>1000$ ।
चरण 3: इससे $n(n+1)>2000$ या $n^2+n-2000>0$ ।
चरण 4: द्विघात समीकरण $n^2+n-2000=0$ के मूल $\frac{-1\pm\sqrt{1+8000}}{2}=\frac{-1\pm89.449}{2}$ से सकारात्मक मूल $\approx44.2245$ मिलता है।
चरण 5: अतः न्यूनतम पूर्णांक $n>44.2245$ के लिए $n=45$ होगा। चेक: $S_{45}=45\times46/2=1035>1000$ एवं $S_{44}=990<1000$ ।

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