Question 45 of 50advanced🔧 ApplyNumerical4 marks

गुणोत्तर श्रेढ़ी 2, 8, 32, ... का कौन-सा पद 131072 है? nnवें पद के लिए व्यापक सूत्र और पुनरावर्ती सूत्र भी लिखिए।

Correct Answer

(i) 131072 गुणोत्तर श्रेढ़ी का 9वाँ पद है।

(ii) व्यापक सूत्र: tn=2×4n−1t_n = 2 \times 4^{n-1}

(iii) पुनरावर्ती सूत्र: t1=2,tn=tn−1×4t_1 = 2, t_n = t_{n-1} \times 4 (जहाँ n≥2n \ge 2)

Exercise: अंतिम प्रश्नावली | Q: 10 | (Page 195)
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Explanation

दी गई श्रेढ़ी 2, 8, 32, ... एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसका प्रथम पद 2 और सार्व अनुपात 4 है। व्यापक सूत्र का उपयोग करके हम nnवें पद को nn के पदों में व्यक्त कर सकते हैं, जबकि पुनरावर्ती सूत्र में प्रत्येक पद अपने पूर्व पद से संबंध रखता है। 131072 की स्थिति ज्ञात करने के लिए व्यापक सूत्र में tn=131072t_n = 131072 रखकर nn का मान ज्ञात किया जाता है।

Solution Steps

  1. चरण 1: दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी 2, 8, 32, ... है। यहाँ प्रथम पद t1=2t_1 = 2 है और सार्व अनुपात r=82=4r = \frac{8}{2} = 4 है।

  2. चरण 2: nnवें पद के लिए व्यापक सूत्र tn=a×rn−1t_n = a \times r^{n-1} का उपयोग करने पर, tn=2×4n−1t_n = 2 \times 4^{n-1} प्राप्त होता है।

  3. चरण 3: चूँकि प्रत्येक पद अपने पूर्व पद का 4 गुना है, इसलिए पुनरावर्ती सूत्र t1=2,tn=tn−1×4t_1 = 2, t_n = t_{n-1} \times 4 (जहाँ n≥2n \ge 2) होगा।

  4. चरण 4: यह ज्ञात करने के लिए कि 131072 कौन-सा पद है, हम समीकरण tn=131072t_n = 131072 को हल करते हैं।

  5. चरण 5: 2×4n−1=131072  ⟹  4n−1=65536  ⟹  4n−1=48  ⟹  n−1=8  ⟹  n=92 \times 4^{n-1} = 131072 \implies 4^{n-1} = 65536 \implies 4^{n-1} = 4^8 \implies n-1 = 8 \implies n = 9। अतः 131072 श्रेढ़ी का 9वाँ पद है।

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