Question 29 of 50intermediate🔧 ApplyNumerical4 marks

जाँचिए कि क्या नीचे दिए गए अनुक्रम गुणोत्तर श्रेढ़ियाँ हैं और उनके nnवें पद ज्ञात कीजिए।

(i)

2,10,50,250,…2, 10, 50, 250, \dots

Answer

हाँ, यह एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है। इसका nnवाँ पद tn=2(5)n−1t_n = 2(5)^{n-1} है।

(ii)

4,83,169,3227,…4, \frac{8}{3}, \frac{16}{9}, \frac{32}{27}, \dots

Answer

हाँ, यह एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है। इसका nnवाँ पद tn=4(23)n−1t_n = 4\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} है।

(iii)

3,−32,34,−38,…3, \frac{-3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{-3}{8}, \dots

Answer

हाँ, यह एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है। इसका nnवाँ पद tn=3(−12)n−1t_n = 3\left(\frac{-1}{2}\right)^{n-1} है।

Explanation

किसी भी अनुक्रम की गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP) होने की जाँच करने के लिए, हम क्रमागत पदों के युग्मों का अनुपात ज्ञात करते हैं। यदि यह अनुपात स्थिर (नियत) रहता है, तो वह अनुक्रम गुणोत्तर श्रेढ़ी होती है। इस स्थिर अनुपात को सार्व अनुपात rr कहा जाता है। गुणोत्तर श्रेढ़ी के nnवें पद का सूत्र tn=arn−1t_n = ar^{n-1} होता है, जहाँ aa प्रथम पद है और rr सार्व अनुपात है।