Question 46 of 50advanced🔧 ApplyNumerical5 marks

एक गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रथम तीन पदों का योगफल 1312\frac{13}{12} है और उनका गुणनफल -1 है। श्रेढ़ी का सार्व अनुपात और पद ज्ञात कीजिए।

Correct Answer

सार्व अनुपात −43-\frac{4}{3} या −34-\frac{3}{4} है। श्रेढ़ी के पद 34,−1,43\frac{3}{4}, -1, \frac{4}{3} या 43,−1,34\frac{4}{3}, -1, \frac{3}{4} हैं।

Exercise: अंतिम प्रश्नावली | Q: 11 | (Page 195)
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Explanation

इस प्रश्न में गुणोत्तर श्रेढ़ी के तीन पदों को ar\frac{a}{r}, aa और arar मानकर हल किया जाता है, जिससे गुणनफल सीधे a3a^3 के रूप में प्राप्त हो जाता है और योगफल के समीकरण से rr का द्विघात समीकरण बन जाता है।

Solution Steps

  1. चरण 1: मान लीजिए गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रथम तीन पद ar\frac{a}{r}, aa और arar हैं, जहाँ aa प्रथम पद है तथा rr सार्व अनुपात है।

  2. चरण 2: प्रश्नानुसार, पदों का गुणनफल =ar×a×ar=a3=−1= \frac{a}{r} \times a \times ar = a^3 = -1। अतः, a=−1a = -1।

  3. चरण 3: प्रश्नानुसार, पदों का योगफल =ar+a+ar=1312= \frac{a}{r} + a + ar = \frac{13}{12}। a=−1a = -1 रखने पर: −1r−1−r=1312-\frac{1}{r} - 1 - r = \frac{13}{12}, जो 1+r+r2r=−1312\frac{1 + r + r^2}{r} = -\frac{13}{12} देता है।

  4. चरण 4: समीकरण को हल करने पर: 12(r2+r+1)=−13r  ⟹  12r2+25r+12=012(r^2 + r + 1) = -13r \implies 12r^2 + 25r + 12 = 0। गुणनखंडन करने पर (4r+3)(3r+4)=0(4r + 3)(3r + 4) = 0 प्राप्त होता है। इसलिए, r=−34r = -\frac{3}{4} या r=−43r = -\frac{4}{3}।

  5. चरण 5: यदि r=−43r = -\frac{4}{3} है, तो पद होंगे: 34,−1,43\frac{3}{4}, -1, \frac{4}{3}। यदि r=−34r = -\frac{3}{4} है, तो पद होंगे: 43,−1,34\frac{4}{3}, -1, \frac{3}{4}।

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