Question 40 of 50advanced🔧 ApplyNumerical4 marks

उस गुणोत्तर श्रेढ़ी की रचना (निर्माण) कीजिए, जिसके प्रारंभिक दो पदों का योगफल -4 है और जिसका पाँचवा पद, तीसरे पद का 4 गुना है।

Correct Answer

दो संभावित गुणोत्तर श्रेढ़ियाँ हैं: (1) −43, −83, −163, −323, −643,…-\tfrac{4}{3},\,-\tfrac{8}{3},\,-\tfrac{16}{3},\,-\tfrac{32}{3},\,-\tfrac{64}{3},\dots जहाँ a=−43,  r=2a=-\tfrac{4}{3},\;r=2। (2) 4, −8, 16, −32, 64,…4,\,-8,\,16,\,-32,\,64,\dots जहाँ a=4,  r=−2a=4,\;r=-2।

Exercise: अंतिम प्रश्नावली | Q: 5 | (Page 195)
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Explanation

गुणोत्तर श्रेढ़ी के सामान्य पद का सूत्र tn=arn−1t_n = ar^{n-1} है। प्रारंभिक दो पदों का योग a+ar=−4a+ar=-4 से a(1+r)=−4a(1+r)=-4 प्राप्त होता है। पाँचवे एवं तीसरे पद का संबंध ar4=4 (ar2)ar^4 =4\,(ar^2) से r2=4r^2=4 मिलता है। अतः r=2r=2 एवं r=−2r=-2 दोनों के लिए aa का मान ज्ञात कर दो श्रेढ़ियाँ प्राप्त होती हैं।

Solution Steps

  1. Step 1: पहला पद एवं सार्व अनुपात मानें: प्रथम पद aa और सार्व अनुपात rr लें।

  2. Step 2: प्रथम दो पदों का योग: t1+t2=a+ar=a(1+r)=−4t_1+t_2 = a + ar = a(1+r) = -4।

  3. Step 3: पाँचवें एवं तीसरे पद का संबंध: t5=ar4,  t3=ar2t_5 = ar^4,\;t_3 = ar^2 होने से ar4=4(ar2)  ⟹  r2=4  ⟹  r=2 या −2ar^4 = 4(ar^2) \\ \implies r^2 = 4 \implies r = 2\text{ या }-2।

  4. Step 4: r=2 के लिए a का मान: a(1+2)=−4  ⟹  3a=−4  ⟹  a=−43a(1+2)=-4 \implies 3a=-4 \implies a=-\frac{4}{3}। श्रेढ़ी: −43,−83,−163,…-\tfrac{4}{3},-\tfrac{8}{3},-\tfrac{16}{3},\dots।

  5. Step 5: r=-2 के लिए a का मान: a(1−2)=−4  ⟹  −a=−4  ⟹  a=4a(1-2)=-4 \implies -a=-4 \implies a=4। श्रेढ़ी: 4,−8,16,−32,64,…4,-8,16,-32,64,\dots।

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