निम्नलिखित पहेली पढ़िए और कंकड़ों की संख्या ज्ञात कीजिए:
"मुझमें हैं कुछ कंकड़, बहुत अधिक तो नहीं, मैं बाँटता जब उन्हें 3 के समूहों में तो एक बच ही जाता यहीं यदि मैं चाहूँ उन्हें युग्मों में बाँटना, मुझसे तो हो पाता नहीं, क्योंकि एक जिद्दी अकेला कंकड़, रह ही जाता कहीं। 5 के समूहों में बाँटने पर, फिर भी एक बचा है यहीं कहीं, किंतु 7 के समूहों में बाँटने पर, पूर्णता मिलती है सही। 100 से अधिक रखना, नहीं है मेरे लिए आसान, कहलाओगे तुम चतुर, यदि कंकड़ों की संख्या बता जान।"
कंकड़ों की संख्या 91 है।
Explanation
पहेली के अनुसार, संख्या को 3, 2 और 5 से विभाजित करने पर प्रत्येक बार शेषफल 1 प्राप्त होता है, जबकि 7 से विभाजित करने पर शेषफल 0 होता है और संख्या 100 से अधिक नहीं है। इन शर्तों को एक साथ लागू करके संख्या ज्ञात की जाती है।
Solution Steps
चरण 1: पहेली की शर्तों को समझना — संख्या N को 3, 2 और 5 से विभाजित करने पर शेषफल 1 आता है, और 7 से विभाजित करने पर शेषफल 0 आता है। N 100 है।
चरण 2: शर्तों के अनुसार: N ≡ 1 (mod 3), N ≡ 1 (mod 2), N ≡ 1 (mod 5) और N ≡ 0 (mod 7)।
चरण 3: पहली तीन शर्तों से, N − 1 संख्या 2, 3 और 5 से विभाज्य है। LCM(2, 3, 5) = 30, इसलिए N − 1 = 30k, अर्थात् N = 30k + 1।
चरण 4: अब N = 30k + 1 को 7 से विभाज्य होना चाहिए। k = 1 पर N = 31 (31 ÷ 7 = 4, शेषफल 3), k = 2 पर N = 61 (61 ÷ 7 = 8, शेषफल 5), k = 3 पर N = 91 (91 ÷ 7 = 13, शेषफल 0)।
चरण 5: k = 3 पर N = 91, जो 7 से पूर्णतः विभाज्य है और 100 से अधिक नहीं है। जाँच: 91 ÷ 3 = 30 शेषफल 1, 91 ÷ 2 = 45 शेषफल 1, 91 ÷ 5 = 18 शेषफल 1, 91 ÷ 7 = 13 शेषफल 0। सभी शर्तें संतुष्ट होती हैं।
चरण 6: अतः कंकड़ों की संख्या 91 है।