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तथागत ने ऐसी अनेक संख्याएँ लिखी हैं जिन्हें 6 से विभाजित करने पर शेषफल 2 प्राप्त होता है। वह पुष्टि करता है "यदि आप ऐसी किन्हीं तीन संख्याओं का योग करें तो योगफल सदैव 6 का एक गुणज होगा।" क्या तथागत की पुष्टि सही है?

Correct Answer

हाँ, तथागत की पुष्टि सही है।

Exercise: आइए, पता लगाएँ | Q: 6 | (Page 122)
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Explanation

जो संख्याएँ 6 से विभाजित करने पर शेषफल 2 देती हैं, उन्हें 6k + 2 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। ऐसी तीन संख्याओं का योग करने पर प्राप्त व्यंजक 6 का गुणज बन जाता है, जिससे तथागत का कथन सत्य सिद्ध होता है।

Solution Steps

  1. हाँ, तथागत की पुष्टि सही है।

    जो संख्याएँ 6 से विभाजित करने पर शेषफल 2 प्राप्त करती हैं, उन्हें हम एक बीजगणितीय व्यंजक के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। ऐसी कोई भी संख्या 6k+26k + 2 के रूप में लिखी जा सकती है, जहाँ kk एक पूर्णांक है।

    मान लीजिए तथागत ने ऐसी ही तीन संख्याएँ ली हैं। हम इन तीनों संख्याओं को क्रमशः 6a+26a + 2, 6b+26b + 2 और 6c+26c + 2 के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ aa, bb और cc पूर्णांक हैं।

    अब, इन तीनों संख्याओं का योग करने पर हमें प्राप्त होता है: (6a+2)+(6b+2)+(6c+2)=6a+6b+6c+6(6a + 2) + (6b + 2) + (6c + 2) = 6a + 6b + 6c + 6। इस योगफल को हम 6(a+b+c+1)6(a + b + c + 1) के रूप में लिख सकते हैं।

    चूंकि aa, bb और cc पूर्णांक हैं, इसलिए (a+b+c+1)(a + b + c + 1) भी एक पूर्णांक होगा। इस प्रकार, इन तीनों संख्याओं का योगफल 6 के एक गुणज के रूप में प्राप्त होता है। अतः, तथागत का कथन कि योगफल सदैव 6 का एक गुणज होगा, पूर्णतः सत्य है।