Question 39 of 73intermediate🔍 AnalyzeShort Answer3 marks

निम्नलिखित प्रतिरूप को देखिए:

2(22+12)=32+122 (2^2 + 1^2) = 3^2 + 1^2 2(32+12)=42+222 (3^2 + 1^2) = 4^2 + 2^2 2(62+52)=112+122 (6^2 + 5^2) = 11^2 + 1^2 2(52+32)=82+222 (5^2 + 3^2) = 8^2 + 2^2

इसे अन्य संख्याओं के युग्मों के साथ ज्ञात करने का प्रयास कीजिए। क्या आपने किसी प्रतिरूप का पता लगाया?

Correct Answer

हाँ, इसमें एक प्रतिरूप है। यह प्रतिरूप बीजगणितीय सर्वसमिका पर आधारित है।

हम जानते हैं कि (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 और (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2। इन दोनों सर्वसमिकाओं को जोड़ने पर हमें मिलता है: 2(a2+b2)=(a+b)2+(a−b)22 (a^2 + b^2) = (a + b)^2 + (a - b)^2

दिए गए उदाहरणों की जाँच करने पर: 2(22+12)=(2+1)2+(2−1)2=32+122 (2^2 + 1^2) = (2 + 1)^2 + (2 - 1)^2 = 3^2 + 1^2 और 2(62+52)=(6+5)2+(6−5)2=112+122 (6^2 + 5^2) = (6 + 5)^2 + (6 - 5)^2 = 11^2 + 1^2। इसी प्रतिरूप का उपयोग करके हम इसे अन्य संख्याओं के युग्मों के साथ ज्ञात कर सकते हैं। यह प्रतिरूप सदैव लागू होता है।

Exercise: जाँच प्रतिरूप | Q: 2 | (Page 148)
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Explanation

यह प्रश्न बीजगणितीय सर्वसमिकाओं के अनुप्रयोग को समझने पर आधारित है। दो सर्वसमिकाओं (a+b)2(a + b)^2 और (a−b)2(a - b)^2 को जोड़कर 2(a2+b2)2(a^2 + b^2) का सूत्र प्राप्त किया जाता है, जो दिए गए संख्याओं के प्रतिरूप को समझाता है।

Solution Steps

  1. Step 1: दो सर्वसमिकाओं (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 और (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 को लीजिए।

  2. Step 2: इन दोनों को जोड़ने पर: (a+b)2+(a−b)2=(a2+2ab+b2)+(a2−2ab+b2)(a + b)^2 + (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)

  3. Step 3: समान पदों को जोड़ने पर 2a2+2b2=2(a2+b2)2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2) प्राप्त होता है।

  4. Step 4: इस प्रतिरूप को दिए गए संख्या युग्मों पर लागू करने पर, जैसे a=6a=6 और b=5b=5 रखने पर 2(62+52)=(6+5)2+(6−5)2=112+122(6^2 + 5^2) = (6+5)^2 + (6-5)^2 = 11^2 + 1^2 प्राप्त होता है।

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