Question 30 of 73intermediate🔍 AnalyzeShort Answer3 marks

यदि aa और bb कोई दो पूर्णांक हैं तो क्या (a+b)2(a + b)^2 का मान a2+b2a^2 + b^2 से सदैव बड़ा ही होगा? यदि नहीं तो यह कब बड़ा होगा?

Correct Answer

नहीं, (a+b)2(a + b)^2 का मान a2+b2a^2 + b^2 से सदैव बड़ा नहीं होता है। यह तब बड़ा होगा जब aa और bb दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक हों (अर्थात दोनों के चिह्न समान हों)।

Exercise: दो संख्याओं के योग या अंतर का वर्ग | Q: 4 | (Page 145)
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Explanation

सर्वसमिका 1A का उपयोग करने पर हम जानते हैं कि (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2। इसे a2+b2a^2 + b^2 से तुलना करने पर अंतर 2ab2ab प्राप्त होता है। यदि aa और bb एक ही चिह्न के होंगे तो 2ab2ab धनात्मक होगा और (a+b)2(a + b)^2 बड़ा होगा। यदि विपरीत चिह्न के होंगे तो 2ab2ab ऋणात्मक होगा और (a+b)2(a + b)^2 छोटा होगा।

Solution Steps

  1. हम जानते हैं कि सर्वसमिका 1A के अनुसार (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 होता है।

  2. अब (a+b)2(a + b)^2 और a2+b2a^2 + b^2 के बीच का अंतर निकालने पर: (a+b)2−(a2+b2)=2ab(a + b)^2 - (a^2 + b^2) = 2ab प्राप्त होता है।

  3. यदि aa और bb दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक पूर्णांक हैं, तब 2ab>02ab > 0 होगा, अतः (a+b)2>a2+b2(a + b)^2 > a^2 + b^2 होगा।

  4. यदि aa और bb में से एक धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक है, तब 2ab<02ab < 0 होगा, अतः (a+b)2<a2+b2(a + b)^2 < a^2 + b^2 होगा।

  5. अतः, (a+b)2(a + b)^2 का मान a2+b2a^2 + b^2 से तभी बड़ा होगा जब aa और bb समान चिह्न वाले पूर्णांक हों।

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