Question 41 of 73intermediate⚖️ EvaluateShort Answer2 marks

निम्नलिखित प्रतिरूप पर विचार कीजिए:

9×9−1×1=10×89 \times 9 - 1 \times 1 = 10 \times 8 8×8−6×6=14×28 \times 8 - 6 \times 6 = 14 \times 2 7×7−2×2=9×57 \times 7 - 2 \times 2 = 9 \times 5 10×10−4×4=14×610 \times 10 - 4 \times 4 = 14 \times 6

यहाँ पर प्रतिरूप a2−b2=(a+b)×(a−b)a^2 - b^2 = (a + b) \times (a - b) प्रतीत होता है। क्या यह एक वास्तविक सर्वसमिका है?

Correct Answer

हाँ, यह एक वास्तविक सर्वसमिका है। इसे सर्वसमिका 1C के रूप में जाना जाता है।

हम इसे वितरण गुणधर्म का उपयोग करके सिद्ध कर सकते हैं। दाहिने पक्ष (a+b)×(a−b)(a + b) \times (a - b) का विस्तार करने पर हमें प्राप्त होता है:

(a+b)×(a−b)=a2−ab+ba−b2(a + b) \times (a - b) = a^2 - ab + ba - b^2

समान पदों को जोड़ने पर हम देखते हैं कि −ab+ab=0-ab + ab = 0 हो जाता है। अतः, यह व्यंजक a2−b2a^2 - b^2 के बराबर हो जाता है। इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि (a+b)×(a−b)=a2−b2(a + b) \times (a - b) = a^2 - b^2 एक सर्वसमिका है।

Exercise: जाँच प्रतिरूप | Q: 4 | (Page 148)
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Explanation

यह प्रश्न छात्रों को दिए गए संख्यात्मक प्रतिरूप के आधार पर बीजीय सर्वसमिका की पहचान करने और उसे सत्यापित करने के लिए कहता है। पाठ्यपुस्तक वितरण गुणधर्म का उपयोग करके (a + b)(a - b) के विस्तार द्वारा इसे सिद्ध करती है, जहाँ समान पद रद्द हो जाते हैं और परिणाम a2−b2a^2 - b^2 प्राप्त होता है।

Solution Steps

  1. चरण 1: दिए गए प्रतिरूप को बीजीय रूप में लिखें: (a+b)×(a−b)=a2−b2(a + b) \times (a - b) = a^2 - b^2।

  2. चरण 2: दाहिने पक्ष का विस्तार वितरण गुणधर्म का उपयोग करके करें: (a+b)×(a−b)=a2−ab+ba−b2(a + b) \times (a - b) = a^2 - ab + ba - b^2।

  3. चरण 3: समान पदों को जोड़ें: −ab+ab=0-ab + ab = 0।

  4. चरण 4: शेष पदों को लिखें, जो a2−b2a^2 - b^2 है, इस प्रकार यह एक वास्तविक सर्वसमिका है।