64 एक वर्ग संख्या () और एक घन संख्या () है। क्या ऐसी और भी संख्याएँ हैं जो वर्ग और घन दोनों हों? क्या ऐसी संख्याओं को ज्ञात करने की कोई सामान्य विधि है?
हाँ, ऐसी और भी संख्याएँ हैं जो वर्ग और घन दोनों हों। चूँकि वर्ग संख्याओं को से तथा घन संख्याओं को से निरूपित किया जा सकता है, इसलिए जो संख्याएँ वर्ग और घन दोनों होंगी, उनकी घात 2 और 3 दोनों से विभाज्य होगी। 2 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 6 होता है। अतः ऐसी संख्याएँ पूर्ण छठी घात वाली संख्याएँ होती हैं, अर्थात् इन्हें के रूप में लिखा जा सकता है।
उदाहरण के लिए, । इसी प्रकार, एक और संख्या है जो वर्ग और घन दोनों है।
इसलिए, ऐसी संख्याओं को ज्ञात करने की सामान्य विधि यह है कि हम किसी भी संख्या की छठी घात लें। जैसे , , , आदि। ये सभी संख्याएँ वर्ग और घन दोनों होंगी।
Explanation
वर्ग संख्याओं को और घन संख्याओं को के रूप में दर्शाया जा सकता है। एक संख्या जब वर्ग और घन दोनों होती है, तो उसकी घात 2 और 3 के समापवर्त्य (जो 6 होता है) के रूप में होती है। इसलिए के रूप वाली संख्याएँ वर्ग और घन दोनों होती हैं।
Solution Steps
चरण 1: वर्ग संख्याओं को तथा घन संख्याओं को से निरूपित किया जाता है।
चरण 2: वर्ग और घन दोनों होने के लिए घात 2 और 3 के समापवर्त्य (LCM) के गुणज होनी चाहिए, जो 6 है।
चरण 3: अतः ऐसी संख्याएँ के रूप में होंगी, जैसे , आदि।