Question 7 of 13advanced✨ CreateEssay4 marks

64 एक वर्ग संख्या (828^2) और एक घन संख्या (434^3) है। क्या ऐसी और भी संख्याएँ हैं जो वर्ग और घन दोनों हों? क्या ऐसी संख्याओं को ज्ञात करने की कोई सामान्य विधि है?

Correct Answer

हाँ, ऐसी और भी संख्याएँ हैं जो वर्ग और घन दोनों हों। चूँकि वर्ग संख्याओं को n2n^2 से तथा घन संख्याओं को n3n^3 से निरूपित किया जा सकता है, इसलिए जो संख्याएँ वर्ग और घन दोनों होंगी, उनकी घात 2 और 3 दोनों से विभाज्य होगी। 2 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 6 होता है। अतः ऐसी संख्याएँ पूर्ण छठी घात वाली संख्याएँ होती हैं, अर्थात् इन्हें n6n^6 के रूप में लिखा जा सकता है।

उदाहरण के लिए, 64=82=43=2664 = 8^2 = 4^3 = 2^6। इसी प्रकार, 729=272=93=36729 = 27^2 = 9^3 = 3^6 एक और संख्या है जो वर्ग और घन दोनों है।

इसलिए, ऐसी संख्याओं को ज्ञात करने की सामान्य विधि यह है कि हम किसी भी संख्या की छठी घात लें। जैसे 16=11^6 = 1, 26=642^6 = 64, 36=7293^6 = 729, 46=40964^6 = 4096 आदि। ये सभी संख्याएँ वर्ग और घन दोनों होंगी।

Exercise: आइए, पता लगाएँ | Q: 10 | (Page 25)
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Explanation

वर्ग संख्याओं को n2n^2 और घन संख्याओं को n3n^3 के रूप में दर्शाया जा सकता है। एक संख्या जब वर्ग और घन दोनों होती है, तो उसकी घात 2 और 3 के समापवर्त्य (जो 6 होता है) के रूप में होती है। इसलिए n6n^6 के रूप वाली संख्याएँ वर्ग और घन दोनों होती हैं।

Solution Steps

  1. चरण 1: वर्ग संख्याओं को n2n^2 तथा घन संख्याओं को n3n^3 से निरूपित किया जाता है।

  2. चरण 2: वर्ग और घन दोनों होने के लिए घात 2 और 3 के समापवर्त्य (LCM) के गुणज होनी चाहिए, जो 6 है।

  3. चरण 3: अतः ऐसी संख्याएँ n6n^6 के रूप में होंगी, जैसे 26=642^6 = 64, 36=7293^6 = 729 आदि।