क्या तब त्रिभुजों का अस्तित्व सदैव ही होता है जब तीन लंबाइयों का एक समूह त्रिभुज असमिका को संतुष्ट करता है? हम इसके लिए किस प्रकार सुनिश्चित हो सकते हैं?
हाँ, जब भी तीन लंबाइयों का समूह त्रिभुज असमिका को संतुष्ट करता है, तब एक त्रिभुज का अस्तित्व सदैव होता है, जिसकी भुजाओं की लंबाइयाँ ये तीनों लंबाइयाँ होती हैं।
हम इसके लिए इस प्रकार सुनिश्चित हो सकते हैं: यदि दी गई लंबाइयाँ त्रिभुज असमिका को संतुष्ट करती हैं, तो दो छोटी लंबाइयों का योग सबसे बड़ी लंबाई से बड़ा होता है। इसका अर्थ है कि यह हमें स्थिति 3 पर पहुँचा देता है, जहाँ बनाए गए वृत्त परस्पर आंतरिक रूप से प्रतिच्छेद करते हैं।
चूँकि वृत्त आंतरिक रूप से प्रतिच्छेद करते हैं, इसीलिए इन लंबाइयों वाली भुजाओं के लिए त्रिभुज का अस्तित्व होता है। इस प्रकार, यदि लंबाइयों का समूह त्रिभुज असमिका को संतुष्ट करता है, तो ऐसी भुजाओं वाले त्रिभुज की रचना की जा सकती है।
Explanation
पाठ्यपुस्तक के अनुसार, यदि तीन लंबाइयों का समूह त्रिभुज असमिका को संतुष्ट करता है, तो दो छोटी लंबाइयों का योग सबसे बड़ी लंबाई से बड़ा होता है। यह स्थिति तब बनती है जब रचना के दौरान खींचे गए दोनों वृत्त परस्पर आंतरिक रूप से प्रतिच्छेद करते हैं, जिससे त्रिभुज का अस्तित्व सुनिश्चित होता है।