Question 29 of 59advanced🔧 ApplyNumerical5 marks

"मुझमें हैं कुछ कंकड़, बहुत अधिक तो नहीं, मैं बाँटता जब उन्हें 3 के समूहों में तो एक बच ही जाता यहीं यदि मैं चाहूँ उन्हें युग्मों में बाँटना, मुझसे तो हो पाता नहीं, क्योंकि एक जिद्दी अकेला कंकड़, रह ही जाता कहीं। 5 के समूहों में बाँटने पर, फिर भी एक बचा है यहीं कहीं, किंतु 7 के समूहों में बाँटने पर, पूर्णता मिलती है सही। 100 से अधिक रखना, नहीं है मेरे लिए आसान, कहलाओगे तुम चतुर, यदि कंकड़ों की संख्या बता जान।" कंकड़ों की संख्या ज्ञात कीजिए।

Correct Answer

कंकड़ों की संख्या 91 है।

Exercise: आइए, पता लगाएँ | Q: 5 | (Page 122)
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Explanation

कविता के अनुसार, कंकड़ों की संख्या 2, 3 और 5 से विभाजित होने पर 1 शेष बचता है, जिसका अर्थ है कि संख्या 2, 3 और 5 के गुणजों (अर्थात 30 के गुणजों) से 1 अधिक है। साथ ही, यह संख्या 7 से पूर्णतः विभाज्य है और 100 से कम है। 30k + 1 के रूप वाली संख्याओं में 91 ही एकमात्र संख्या है जो 7 से विभाज्य है और 100 से कम है।

Solution Steps

  1. चरण 1: कविता के अनुसार, कंकड़ों की संख्या को 2, 3 और 5 के समूहों में बाँटने पर 1 कंकड़ बच जाता है। इसका अर्थ है कि संख्या 2, 3 और 5 से विभाजित होने पर 1 शेषफल देती है।

  2. चरण 2: 2, 3 और 5 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 30 है। अतः कंकड़ों की संख्या 30k+130k + 1 के रूप में होगी, जहाँ kk एक प्राकृत संख्या है।

  3. चरण 3: k=1,2,3,4k = 1, 2, 3, 4 के लिए संभावित संख्याएँ क्रमशः 31, 61, 91, 121 होंगी।

  4. चरण 4: कविता के अनुसार, संख्या 7 के समूहों में पूर्णतः बँट जाती है, अर्थात यह 7 से विभाज्य है।

  5. चरण 5: जाँच करने पर, 31 और 61, 7 से विभाज्य नहीं हैं। 91 को 7 से विभाजित करने पर 91=7×1391 = 7 \times 13 प्राप्त होता है, अतः 91, 7 से पूर्णतः विभाज्य है।

  6. चरण 6: कविता में यह भी कहा गया है कि 100 से अधिक संख्या रखना आसान नहीं है, जिसका तात्पर्य है कि संख्या 100 से कम है। 91, 100 से कम है। अतः कंकड़ों की संख्या 91 है।

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