Question 5 of 59intermediate🔧 ApplyShort Answer3 marks

अब कोई भी 4 संख्याएँ लीजिए, उनके बीच '+' और '-' चिह्न आठ विभिन्न प्रकार से लगाइए और परिणामी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए। आप उनकी समताओं के विषय में क्या अवलोकन करते हैं? इसी प्रक्रिया को 4 संख्याओं के अन्य समूहों के साथ इसे दोहराइए।

Correct Answer

मान लीजिए हम 4 क्रमागत संख्याएँ 3, 4, 5 और 6 लेते हैं। इनके बीच '+' और '-' चिह्न आठ विभिन्न प्रकार से लगाने पर प्राप्त व्यंजक निम्न हैं:

3+4+5+6=183+4+5+6 = 18 3+4+5−6=63+4+5-6 = 6 3+4−5+6=83+4-5+6 = 8 3+4−5−6=−43+4-5-6 = -4 3−4+5+6=103-4+5+6 = 10 3−4+5−6=−23-4+5-6 = -2 3−4−5+6=03-4-5+6 = 0 3−4−5−6=−123-4-5-6 = -12

अवलोकन: हम देखते हैं कि सभी परिणामी व्यंजकों का मान सम संख्याएँ हैं। अर्थात, सभी व्यंजकों की समता (parity) समान है।

यदि हम 4 संख्याओं के अन्य समूह (जैसे 7, 8, 9, 10) के साथ इस प्रक्रिया को दोहराते हैं, तो भी सभी 8 व्यंजकों के परिणाम सम संख्याएँ ही प्राप्त होते हैं। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि a±ba \pm b की समता सदैव समान होती है, इसीलिए a±b±c±da \pm b \pm c \pm d की समता भी सदैव समान रहती है। चूँकि 4 क्रमागत संख्याओं का योग सम होता है, इसलिए सभी व्यंजकों में सदैव सम समता (even parity) होती है।

Exercise: क्रमगत संख्याओं का योग | Q: 7 | (Page 114)
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Explanation

पाठ्यपुस्तक के अनुसार, दो संख्याओं के योग या अंतर की समता समान रहती है (a±ba \pm b)। इसी तर्क को आगे बढ़ाने पर a±b±c±da \pm b \pm c \pm d की समता भी सदैव समान रहती है। जब हम 4 क्रमागत संख्याएँ लेते हैं, तो उनके सभी 8 संभावित व्यंजकों का परिणाम सम संख्या होता है, जिससे यह सिद्ध होता है कि चार क्रमागत संख्याओं के बीच चिह्न बदलने पर भी परिणामी व्यंजकों की समता परिवर्तित नहीं होती।

Solution Steps

  1. चरण 1: 4 क्रमागत संख्याएँ (जैसे 3, 4, 5, 6) लेकर उनके बीच '+' और '-' के सभी 8 संभावित संयोजन लगाएँ।

  2. चरण 2: सभी 8 व्यंजकों का मान ज्ञात करें (जैसे 18, 6, 8, -4, 10, -2, 0, -12)।

  3. चरण 3: अवलोकन करें कि सभी परिणाम सम संख्याएँ हैं, अर्थात सभी व्यंजकों की समता समान है।

  4. चरण 4: इस प्रक्रिया को अन्य 4 संख्याओं के समूह के साथ दोहराएँ और पाएँ कि परिणाम सदैव सम समता (even parity) वाले होते हैं।