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क्या हम कह सकते हैं कि किसी भी क्रम में केवल '0' और '9' अंकों से बनी संख्या सदैव 9 से विभाज्य होगी?

Correct Answer

हाँ, हम कह सकते हैं कि किसी भी क्रम में केवल '0' और '9' अंकों से बनी संख्या सदैव 9 से विभाज्य होगी।

यदि किसी संख्या का प्रत्येक अंक या तो 0 या 9 है, तो उसके विस्तारित रूप में प्रत्येक पद 9×□9 \times \square या 0×□0 \times \square के रूप में होगा, जहाँ '□\square' स्थानीय मान को दर्शाता है। इसका अर्थ है कि विस्तारित रूप का प्रत्येक पद 9 का गुणज होगा।

उदाहरण के लिए, संख्या 99009 को लें:

99009=9×10000+9×1000+0×100+0×10+9×199009 = 9 \times 10000 + 9 \times 1000 + 0 \times 100 + 0 \times 10 + 9 \times 1

चूंकि इसके सभी पद 9 के गुणज हैं, इसलिए इनका योग भी 9 से विभाज्य होगा। अतः केवल 0 और 9 से बनी कोई भी संख्या 9 से विभाज्य होती है।

Exercise: 9 से विभाज्यता के लिए संक्षिप्त विधि | Q: 25 | (Page 124)
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Explanation

प्रश्न में पूछा गया है कि क्या केवल 0 और 9 अंकों से बनी संख्या 9 से विभाज्य होती है। पाठ्यसामग्री के अनुसार, ऐसी संख्या के विस्तारित रूप में प्रत्येक पद 9 का गुणज होता है, इसलिए संख्या सदैव 9 से विभाज्य होती है।

Solution Steps

  1. चरण 1: यदि किसी संख्या के सभी अंक 0 या 9 हैं, तो उसके विस्तारित रूप का प्रत्येक पद 9×□9 \times \square या 0×□0 \times \square होगा।

  2. चरण 2: इसका अर्थ है कि विस्तारित रूप का प्रत्येक पद 9 का गुणज होगा।

  3. चरण 3: उदाहरण के लिए, 99009=9×10000+9×1000+0×100+0×10+9×199009 = 9 \times 10000 + 9 \times 1000 + 0 \times 100 + 0 \times 10 + 9 \times 1, जो 9 के गुणजों का योग है।

  4. चरण 4: अतः केवल 0 और 9 से बनी कोई भी संख्या सदैव 9 से विभाज्य होगी।