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क्या सदैव ऐसा होगा? आप इसे कैसे दर्शाएँगे? (संकेत — इस आकार में संख्याओं के एक सामान्य समूह पर विचार कीजिए। मध्य में लिखी संख्या को 'aa' लीजिए। अन्य संख्याओं को 'aa' के पदों में व्यक्त कीजिए।) अन्य आकार ज्ञात कीजिए जिनके लिए चित्र के अंदर की संख्याओं का योगफल हमेशा उनमें से किसी एक संख्या का गुणज है।

Correct Answer

हाँ, यह सदैव ऐसा होगा। इसे हम बीजगणितीय व्यंजकों की सहायता से दर्शा सकते हैं। आइए, दिए गए आकार में मध्य में लिखी संख्या को 'aa' मान लेते हैं।

इस आकार में संख्याओं को 'aa' के पदों में व्यक्त करने पर, aa के ठीक ऊपर की संख्या a−7a-7 होगी और नीचे की संख्या a+7a+7 होगी। इसी प्रकार, aa के बाईं ओर की संख्या a−1a-1 और दाईं ओर की संख्या a+1a+1 होगी।

अब, इस आकार में दर्शाई गई सभी संख्याओं का योगफल ज्ञात करते हैं: योगफल =(a−7)+(a−1)+a+(a+1)+(a+7)= (a-7) + (a-1) + a + (a+1) + (a+7) कोष्ठकों को हटाकर सरल करने पर: योगफल =a−7+a−1+a+a+1+a+7=5a= a - 7 + a - 1 + a + a + 1 + a + 7 = 5a

हम देखते हैं कि कुल योगफल 5a5a है, जो कि मध्य में लिखी संख्या aa का 5 गुना है। चूँकि aa का कोई भी मान लिया जाए, योगफल सदैव 5a5a ही होगा, इसलिए यह पैटर्न सदैव चलेगा।

अन्य आकार: क्षैतिज रेखा में 3 संख्याएँ: (a−1)(a-1), aa, (a+1)(a+1)। इनका योगफल 3a3a होता है, जो aa का 3 गुना है। इसी प्रकार, ऊर्ध्वाधर रेखा में 3 संख्याओं (a−7)(a-7), aa, (a+7)(a+7) का योगफल भी 3a3a होता है।

Exercise: कैलेंडर (तिथिपत्र) में पैटर्न | Q: 13 | (Page 99)
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Explanation

यह प्रश्न बीजगणितीय मॉडल की शक्ति को दर्शाता है कि कोई पैटर्न लगातार चलेगा या नहीं। कैलेंडर के आकार में मध्य संख्या को aa मानकर अन्य संख्याओं को aa के पदों में व्यक्त करने पर योगफल 5a5a प्राप्त होता है, जो यह सिद्ध करता है कि योगफल सदैव मध्य संख्या का 5 गुना होगा।

Solution Steps

  1. चरण 1: मध्य संख्या को aa मानकर आकार की अन्य संख्याओं को व्यक्त कीजिए: ऊपर a−7a-7, नीचे a+7a+7, बाएँ a−1a-1, दाएँ a+1a+1।

  2. चरण 2: सभी संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए: (a−7)+(a−1)+a+(a+1)+(a+7)(a-7) + (a-1) + a + (a+1) + (a+7)।

  3. चरण 3: व्यंजक को सरल कीजिए: a−7+a−1+a+a+1+a+7=5aa - 7 + a - 1 + a + a + 1 + a + 7 = 5a।

  4. चरण 4: निष्कर्ष निकालिए कि योगफल 5a5a है, अर्थात मध्य संख्या का 5 गुना।

  5. चरण 5: अन्य आकारों के लिए समान विधि लागू कीजिए, जैसे 3 संख्याओं की क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर रेखा का योगफल 3a3a होता है।