वह संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 3 से विभाजित करने पर शेषफल 2 प्राप्त होता है एवं 4 से विभाजित करने पर शेषफल 3 प्राप्त होता है एवं 5 से विभाजित करने पर शेषफल 4 प्राप्त होता है। ऐसी सबसे छोटी संख्या कौन-सी है? क्या आप यह बता सकते हैं कि यह संख्या सबसे छोटी क्यों है?
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Explanation
दिए गए प्रश्न में भाजक और शेषफल के बीच एक विशेष प्रतिरूप है: शेषफल हमेशा भाजक से 1 कम है। इसलिए, यदि अभीष्ट संख्या में 1 जोड़ दिया जाए, तो वह संख्या 3, 4 और 5 तीनों से पूर्णतः विभाज्य हो जाएगी। 3, 4 और 5 का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) 60 है। इसलिए, अभीष्ट संख्या 60 से 1 कम, यानी 59 होगी। यह सबसे छोटी संख्या है क्योंकि 60 उन संख्याओं में सबसे छोटी है जो 3, 4 और 5 से विभाज्य हैं।
Solution Steps
चरण 1: दिए गए भाजकों (3, 4, 5) और उनके संगत शेषफलों (2, 3, 4) का अवलोकन करें। हम देखते हैं कि शेषफल हमेशा भाजक से 1 कम है।
चरण 2: इसका अर्थ है कि यदि हम अभीष्ट संख्या में 1 जोड़ दें, तो वह संख्या 3, 4 और 5 तीनों से बिना किसी शेष के पूर्णतः विभाज्य हो जाएगी।
चरण 3: 3, 4 और 5 का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात करें। चूँकि ये तीनों संख्याएँ सह-अभाज्य हैं, इसलिए इनका LCM इनका गुणनफल होगा: ।
चरण 4: चूँकि 3, 4 और 5 से विभाज्य सबसे छोटी संख्या 60 है, इसलिए अभीष्ट संख्या होगी।
चरण 5: यह संख्या सबसे छोटी इसलिए है क्योंकि 60 इन तीनों संख्याओं से विभाज्य सबसे छोटी संख्या है, और अभीष्ट शर्तों को पूरा करने वाली सबसे छोटी संख्या है।